複素解析をざっとまとめるー18（複素関数の積分その３）

目次

積分経路の変形

　線積分を求めるとき, が領域の全ての点で正則ならば, 積分経路を変形する必要はありません. なぜなら, コーシーの積分定理よりが容易にわかるからです. 積分経路の変形が必要になるのは, の内部にが正則でない点や領域が含まれてしまう場合です. 特に, 内部に正則でない点があるとき, その点を特異点と言います. そういう場合は, コーシーの積分定理や積分経路の変形則をうまく使って簡単な線積分に落とし込むことが必要です.

閉曲線でない場合

　前回の最後で変形則を1つ示しました.

　 領域を単連結領域, 曲線を, いずれも任意の点を始点と終点にもつ, 区分的に滑らかな上の曲線とする. このとき関数が上で正則ならば,
　\begin{align}
　\int^{}_{C_{1}}f(z)dz =\int^{}_{C_{2}}f(z)dz \nonumber
　\end{align}

　これはが単連結で, かつが全体で正則な場合の話です. 線積分の結果は始点と終点の情報だけで決まる, ということを言っています.
　領域の内部に特異点があることがわかっている場合, 次のような性質で線積分の結果が同じかどうかを判定できます.
　

変形則1
　は領域上で正則であるとする(領域が単連結とは限らない). また, 曲線を内の任意の点をそれぞれ始点と終点にもつ曲線とする. このとき結合経路の内部の点でが正則ならば,
　\begin{align}
　\int^{}_{C_{1}}f(z)dz = \int^{}_{C_{2}}f(z)dz \nonumber
　\end{align}
　となる.

　証明にはコーシーの積分定理を使います.
　証明
　とすると, の内部全体で正則ならばコーシーの積分定理より,
　\begin{align}
　\int^{}_{C}f(z)dz = 0 \nonumber
　\end{align}
となる. 線積分の性質から
　\begin{align}
　\int^{}_{C}f(z)dz &= \int^{}_{C_{1}}f(z)dz -\int^{}_{C_{2}}f(z)dz \nonumber \\
　&= 0 \nonumber
　\end{align}
　よって
　\begin{align}
　\int^{}_{C_{1}}f(z)dz=\int^{}_{C_{2}}f(z)dz \nonumber
\end{align}
となる.
証明終
　では例題を解いてみましょう.

例題4
　とする. 点をそれぞれ始点と終点に持つ曲線についてが, 次の図に示すような経路だった場合, それぞれの線積分を求めよ.

(1)
(2)
(3)
例題解答4
　まず関数はを含まずとも表せるため, 点を除き正則な関数です.
(1)
　パラメータを用いて曲線はと表せます.
　複素線積分の計算方法は
\begin{align}
\int^{}_{C}f(\varphi(t))\varphi'(t)dt \nonumber
\end{align}
なので, これに当てはめると,
\begin{align}
\int^{1}_{-1}\frac{1}{1+it}\cdot i dt &= \int^{1}_{-1}\frac{i + t}{1 + t^{2}}dt \nonumber \\
&= \int^{1}_{-1}\left(\frac{i}{1+t^{2}} +\frac{t}{1+t^{2}}\right) dt \nonumber
\end{align}
　ここで, 関数は奇関数なので, 積分範囲の対称性からこの関数の積分は無視できます. よって,
\begin{align}
\int^{1}_{-1}\left(\frac{i}{1+t^{2}} \right) dt =i\int^{1}_{-1}\left(\frac{1}{1+t^{2}} \right)dt \nonumber
\end{align}
を求めればよいのです. パラメータを
\begin{align}
t = \tan \theta \quad(\theta:-\frac{\pi}{4}\to\frac{\pi}{4}) \nonumber
\end{align}
と変数変換します. 置換積分を行います. より,
\begin{align}
i\int^{1}_{-1}\left(\frac{1}{1+t^{2}} \right)dt &= i\int^{\pi/4}_{-\pi/4}\frac{1}{1+\tan^{2}\theta}\cdot \frac{1}{\cos^{2}\theta}d\theta \nonumber \\
&= i\int^{\pi/4}_{-\pi/4}d\theta \nonumber \\
&= i[\theta]^{\pi/4}_{-\pi/4} = \frac{\pi i}{2} \nonumber
\end{align}
　これが答えです. 1行目から2行目へはを使っています.
(2)
　変形則1よりに沿った線積分の結果も(1)と同様になることがわかります. 確認のために一応求めてみましょう.
はパラメータを用いて
\begin{align}
\varphi(t) = \sqrt{2}e^{it}-1\quad\left(t:-\frac{\pi}{4}\to\frac{\pi}{4}\right) \nonumber
\end{align}
と表せます. オイラーの公式を用いて複素数を極形式で表し, 倍(円の半径)して実軸方向にだけ平行移動しています.
\begin{align}
\int^{\pi/4}_{-\pi/4}\frac{1}{1 + \sqrt{2}e^{it}-1}\cdot i\sqrt{2}e^{it} dt &= i\int^{\pi/4}_{-\pi/4}\frac{\sqrt{2}e^{it}}{\sqrt{2}e^{it}}dt \nonumber \\
&= i\int^{\pi/4}_{-\pi/4}dt = \frac{\pi i}{2} \nonumber
\end{align}
　ほら, (1)と同じでしょう？
(3)
閉曲線あるいはの内部には特異点が含まれているため, の線積分の値は(1),(2)と異なります.
のパラメータ表示は(2)と同じですが, の範囲がとなります. よって
\begin{align}
i\int^{\pi/4}_{7\pi/4}\frac{\sqrt{2}e^{it}}{\sqrt{2}e^{it}}dt &= i[\theta]^{\pi/4}_{7\pi/4} \nonumber \\
&= -\frac{3\pi i}{2} \nonumber
\end{align}
となります.

閉曲線の場合

　曲線が閉曲線である場合を考えましょう.
　当然, 閉曲線の内部には特異点が含まれているとします. 具体的に次のような曲線を想定しましょう.

　関数は閉曲線の内部で, 点を除いて正則な関数であるとします. 特異点が無ければコーシーの積分定理で線積分はになるのですが, 特異点があるのでそうはいきません. こういう場合は, 点を中心とする小さい円を考えます. 今は半径をそれぞれとしましょう. そしてその円周に向かってから切り込みを入れます. 図で示すと次のような状態です.

　点を中心とする円を正の向きに1周する経路をそれぞれとします. またとをつなぐ切れ込みの経路をそれぞれとします. このとき, 次の図で示された領域において, は内部全体で正則で, かつこの領域は単連結です.

　閉曲線をの3つに分割すると, , , を順番につないだ結合経路に沿ったの線積分はコーシーの積分定理よりになります. つまり,
\begin{align}
\int^{}_{C'T_{1}C_{1}^{-1}T_{1}^{-1}C''T_{2}C_{2}^{-1}T_{2}^{-1}C'''}f(z)dz = 0 \nonumber
\end{align}
となります. 結合経路の線積分は, それぞれの経路に沿った線積分の和になります. また, ある経路に対し, その逆向きの経路には
\begin{align}
\int^{}_{C^{-1}}f(z)dz = -\int^{}_{C}f(z)dz \nonumber
\end{align}
という関係性があるため, 先ほどの式は,
\begin{align}
&\int^{}_{C'}+\int^{}_{T_{1}}+\int^{}_{C_{1}^{-1}}+\int^{}_{T_{1}^{-1}}+\int^{}_{C''}+\int^{}_{T_{2}}+\int^{}_{C_{2}^{-1}}+\int^{}_{T_{2}^{-1}}+\int^{}_{C'''}\nonumber \\
&=\int^{}_{C'}+\int^{}_{C_{1}^{-1}}+\int^{}_{C''}+\int^{}_{C_{2}^{-1}}+\int^{}_{C'''}\quad(f(z)dz\mbox{は省略}) \nonumber
\end{align}
となります. ですから, 上式より,
\begin{align}
\int^{}_{C} + \int^{}_{C_{1}^{-1}}+\int^{}_{C_{2}^{-1}} = 0 \nonumber \\
\therefore \quad\int^{}_{C} = \int^{}_{C_{1}} + \int^{}_{C_{2}} \nonumber
\end{align}
となります. さて, 不思議な結果が得られてしまいました. これは, 「閉曲線の内部に特異点があるなら, に沿った線積分の結果は, 特異点を中心とする円周のに沿った線積分の和に等しい」ということです. これは閉曲線の内部に特異点がいくつもあった場合も同様です. つまり次のように一般化できます.

変形則2
　関数は閉曲線の内部の有限個の特異点を除いての内部で正則であるとする. このとき,
\begin{align}
\oint^{}_{C}f(z)dz = \sum^{m}_{k = 1}\int^{}_{C_{k}}f(z)dz \nonumber
\end{align}
となる. ただしとは, 特異点を中心とする小円を正の向きに一周する経路である.

積分の基本公式

　「変形則2を使って積分を求めたいけど, 特異点を中心とする小円の方程式が分からなきゃ積分できないのではないか」と思われるかもしれません. しかし円の半径などが分からなくても線積分を求めることができます. そのような基本公式を示します.

基本公式1
　を整数, を点を中心とする半径の円とする. このとき, 次が成立する.
\begin{align}
\int^{}_{C}(z-\alpha)^{m}dz =
\begin{cases}
0 &(m \neq -1)\\
2\pi i & (m = -1)
\end{cases}
\nonumber
\end{align}

　この式で注目すべきなのは, 積分の結果がやに依存しない定数だということです. すなわち半径や特異点の座標が分からなくても線積分が求められるのです. 証明も示しておきましょう. 難しくはありません.
証明
上の点はパラメータを用いて, オイラーの公式より,
\begin{align}
z(t) = \alpha + re^{it}\quad(t:0\to 2\pi) \nonumber
\end{align}
と表せます. 線積分の計算を行うと,
\begin{align}
\int^{}_{C}(z-\alpha)^{m}dz &= \int^{2\pi}_{0}(re^{it})^{m}(ire^{it})dt \nonumber \\
&= ir^{m+1}\int^{2\pi}_{0}e^{i(m+1)t}dt \nonumber
\end{align}
のとき,
\begin{align}
ir^{m+1}\left[\frac{1}{(m+1)t}e^{i(m+1)t}\right]^{2\pi}_{0}
= 0\nonumber
\end{align}
のとき,
\begin{align}
i\int^{2\pi}_{0}1dt = 2\pi i \nonumber
\end{align}
証明終
　基本公式1を用いれば, 次の基本公式2が分かります.

基本公式2
　任意の単純閉曲線に対し, 次が成立する.
\begin{align}
\int^{}_{C}\frac{1}{z-\alpha}dz =
\begin{cases}
2\pi i & (\alpha \in C\mbox{の内部}) \\
0 & (\alpha \in C\mbox{の外部})
\end{cases}
\nonumber
\end{align}

　これも証明は単純です.
証明
　関数は点以外の全ての複素平面上の点で正則です. なのでが単純閉曲線の外部の場合, およびその内部全体を含む領域を考えれば, コーシーの積分定理より
\begin{align}
\int^{}_{C} = 0 \nonumber
\end{align}
がの内部の場合には, 基本公式1より
\begin{align}
\int^{}_{C} = 2\pi i
\end{align}
証明終
　では例題を解いてみましょう.

例題5
　関数を, 円の正の向きに沿って1周線積分した値を求めよ.

例題解答5
　は2点を除いた複素平面全体で正則な関数であるので, を中心とする小円を, を中心とする小円をとすると, 変形則2より,
\begin{align}
\oint^{}_{C}f(z)dz = \oint^{}_{C_{1}}f(z)dz + \oint^{}_{C_{2}}f(z)dz \nonumber
\end{align}
となります.

　ここで, は,
\begin{align}
\frac{2z-2}{z(z-2)} = \frac{1}{z}+\frac{1}{z-2} \nonumber
\end{align}
と表せます. は点を, は点を特異点に持つ関数であるので, 基本公式2より
\begin{align}
\oint^{}_{C_{1}}f(z)dz &= \oint^{}_{C_{1}}\frac{1}{z}dz+\oint^{}_{C_{1}}\frac{1}{z-2}dz \nonumber \\
&= 2\pi i + 0 = 2\pi i \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\oint^{}_{C_{2}}f(z)dz &= \oint^{}_{C_{2}}\frac{1}{z}dz+\oint^{}_{C_{2}}\frac{1}{z-2}dz \nonumber \\
&= 0 + 2\pi i = 2\pi i \nonumber
\end{align}
となります. よって答えは,
\begin{align}
\oint^{}_{C}f(z)dz = 4\pi i \nonumber
\end{align}

　私はCR関係式からだいたいこの複素積分を求め方のあたりまでが複素関数論で一番苦しいところの1つだと思っています（もう1つはリーマン面, それから解析接続のあたりでしょうか）. とりあえずはおつかれさまです. 頭をなでてあげます. なでなで.
　次回はコーシーの積分定理から導かれる美しい定理の1つ「コーシーの積分公式」とその一般形である「グルサの定理」を説明します.

複素解析をざっとまとめるー17（複素関数の積分その２）

目次

複素線積分

　さて複素数の積分です.
　複素積分は実数でのリーマン積分を形式的に複素数に拡張したものとして定義します.

複素平面上の曲線
　複素平面上の曲線とは, 変数によって表される2つの連続関数によって
\begin{align}
C = \{x(t)+iy(t)\in\mathbb{C}\,|\,t\in[a,b]\} \nonumber
\end{align}
と表される複素数の集合のこと.
\begin{align}
C:z=\varphi(t) = x(t)+iy(t)\quad(a\leq t \leq b) \nonumber
\end{align}
とも書く.

　次に曲線の滑らかさの定義です.

滑らかな曲線
曲線がについて級で,
\begin{align}
\frac{d}{dt}\varphi(t) = \frac{d}{dt}x(t)+\frac{d}{dt}y(t) \neq 0 \nonumber
\end{align}
を満たすとき, 曲線を滑らかな曲線という.

　さらに「区分的に滑らか」というのもあります.

区分的に滑らか
　曲線を有限個の点
\begin{align}
a = t_{0}< t_{1} <\cdots< t_{N} =b \nonumber
\end{align}
で分割する. 曲線のに対応する部分がそれぞれ滑らかな曲線になっているとき, 曲線は区分的に滑らかであるという.

　では, 複素線積分を定義できます.

複素線積分
　を, 平面上のパラメータで表される滑らかな曲線で定義された1価関数とする. 曲線上に個の分割点を取る. との積により, 複素リーマン和が以下のように定義できる.
　\begin{align}
　\sum_{N-1}^{k=0} f(z_{k})\Delta z_{k} = \sum_{N-1}^{k=0} f(z_{k})(z_{k+1}-z_{k}) \nonumber
　\end{align}
　この複素リーマン和はを無限に増やし, 分割点同士の差の絶対値を一様にに近づけることである複素数値に収束する. この複素数値を複素線積分と呼び
　\begin{align}
　\int^{}_{C}f(z)dz \nonumber
　\end{align}
　と表す.

　複素線積分を単に複素積分ということもあります.
　実数の線積分と同様の次の性質が, 複素線積分にも成立します.

複素線積分の基本的性質
　曲線上で連続な複素関数について,
\begin{align}
\int^{}_{C}\{f(z)+g(z)\}dz& = \int^{}_{C}f(z)dz+\int^{}_{C}g(z)dz \tag{1} \\
\int^{}_{C}\alpha f(z)dz &=\alpha\int^{}_{C}f(z)dz \tag{2} \\
\int^{}_{C^{-1}}f(z)dz &= -\int^{}_{C}f(z)dz \tag{3}
\end{align}
　曲線[経路]が2つの曲線の結合である場合
\begin{align}
\int^{}_{C}f(z)dz = \int^{}_{C_{1}}f(z)dz+\int^{}_{C_{2}}f(z)dz \tag{4}
\end{align}

では具体的な計算方法を教えましょう.

具体的な計算方法
　滑らかな曲線に対し,
\begin{align}
\int^{}_{C}f(z)dz = \int^{b}_{a}f(\varphi(t))\frac{d}{dt}\varphi(t)dt \nonumber
\end{align}
である.

　では例題を解いてみょう！

例題1
とする. 始点, 終点を持つ, 次の図に示す2つの曲線[経路]に対して, 複素線積分を計算せよ. (2つの曲線は前回の記事の線積分で取り上げた例題のものと全く同じです. )

(1)\\
(2)
例題1解答
(1)をパラメータで表すと
\begin{align}
\varphi(t) &= x(t)+iy(t) \nonumber \\
&= t+2it\quad (0\leq t \leq 1) \nonumber
\end{align}
となります. このとき,
\begin{align}
\frac{d}{dt}\varphi(t) = 1+2i \nonumber
\end{align}
より, 線積分は
\begin{align}
\int^{}_{C}f(z)dt &=\int^{}_{C}f(\varphi(t))\frac{d}{dt}\varphi(t)dt \nonumber \\
&= \int^{1}_{0}(t+2it)(1+2i)dt \nonumber \\
&= \int^{1}_{0}(1+2i)^{2}t\, dt \nonumber \\
&= \left[\frac{(1+2i)^{2}}{2}t^{2}\right]^{1}_{0} \nonumber \\
&= \frac{(1+2i)^{2}}{2} = -\frac{3}{2}+2i \nonumber
\end{align}
(2)複素数をとしよう. そしてからまでの経路を,からまでの経路をとしよう. , 上の複素数はパラメータを用いて次のように表せます.
\begin{align}
C_{2}':\varphi(t) &= t\quad (0\leq t \leq 1) \nonumber \\
C_{2}'':\varphi(t) &= 1+it\quad (0\leq t \leq 2) \nonumber
\end{align}
ですから, 線積分は,
\begin{align}
\int^{}_{C}f(z) dz &= \int^{}_{ C_{2}'}f(z) dz+\int^{}_{C_{2}''}f(z) dz \nonumber \\
&= \int^{}_{ C_{2}'}f(\varphi(t))\frac{d}{dt}\varphi(t)dt+\int^{}_{C_{2}''}f(\varphi(t))\frac{d}{dt}\varphi(t)dt \nonumber \\
&= \int^{1}_{0}t\cdot 1 dt+\int^{2}_{0}(1+it)i\,dt \nonumber \\
&= \left[\frac{1}{2}t^{2}\right]^{1}_{0}+\left[-\frac{1}{2}t^{2}+it\right]^{2}_{0} \nonumber \\
&= \frac{1}{2}-2+2i = -\frac{3}{2}+2i \nonumber
\end{align}
ありゃ！(1)の結果と一緒になったね！

　曲線の始点と終点が一致している場合の線積分を周回積分といいます. 実関数の場合と同じですね. この周回積分について, 複素関数論(あるいは初等関数論)において最も美しい定理, コーシーの積分定理が成立します.

コーシーの積分定理

　コーシーの積分定理に向かうために, いくつか下準備をしましょう.
　以下, 領域は, 単連結な領域とします. 単連結の定義は次のようなものです.

単連結
　領域内の任意の単純閉曲線の内部が, に含まれるとき, 領域は単連結であるという.

　例をだすと, 次の図のうち, 全射は単連結ですが, 後者は単連結ではありません.

単連結

単連結でない

命題1
　関数を領域上で定義された正則関数, を領域上で定義された正則関数とする. 領域の任意の点に対してならば, の合成関数は領域上の正則関数であり, その導関数は
\begin{align}
F'(z) = g'(f(z))f'(z) \nonumber
\end{align}
となる.

　証明しましょう. 正則の性質を使います. そんなに複雑ではありません.
証明
　を任意の点とし, を絶対値が十分小さい複素数とすれば, よりかつである. さらに正則性より,
\begin{align}
f(z+h) -f(z) &=f'(z)h+P(z,h)h\quad\left(\lim_{h\to0}P(z,h)=0\right) \nonumber \\
g(w+k) -g(w) &=g'(w)k+Q(w,k)k\quad\left(\lim_{k\to0}Q(w,k)=0\right) \nonumber
\end{align}
を満たすが存在する. これは実微分の復習で書いた「微分とはある点の近傍の点を1次式で近似すること」ということに通じている.
　とおけば, は連続関数であるため, のときである. に注意すると,
\begin{align}
F(z+&h) -F(z) =g(w+k)-g(w) \nonumber \\
&= g'(f(z))\{f(z+h)-f(z)\}+Q(f(z)+k)\{f(z+h)-f(z)\} \nonumber \\
&= g'(f(z))\{f'(z)h+P(z,h)h\}+Q(f(z),k)\{f'(z)h+P(z,h)h\}
\end{align}
である. ここで,
\begin{align}
R(z,h)=g'(f(z))P(z,h)+Q(f(z),k)f'(z)+P(z,h)Q(f(z),k) \nonumber
\end{align}
とすると,
\begin{align}
F(z+h)-F(z) =g'(f(z))f'(z)h+R(z,h)h\quad\left(\lim_{h\to0}R(z,h)=0\right) \nonumber
\end{align}
が成立する. これはがで複素微分可能で, その導関数がとなることを示している. また, は正則であるから, も正則関数であり, も正則である. よってはの正則関数である.
証明終
　そして命題1と同様にして次の命題も成立します.

命題2
　は領域で定義された正則関数, はの点を値に持つ実変数の微分可能な複素数値関数とする. このとき,
\begin{align}
\frac{d}{dt}f(\varphi(t)) = f'(\varphi(t))\varphi'(t) \nonumber
\end{align}
が成立する.

　さてやってまいりました！命題2の式を線積分に適用しましょう. 曲線は領域内で定義されている区分的に滑らかな曲線とします. すると, の場合,
\begin{align}
\int^{}_{C}f(z)dz &= \sum^{n-1}_{j=0}\int^{t_{j+1}}_{t_{j}}f'(\varphi(t))\varphi'(t)dt \nonumber \\
&= \sum^{n-1}_{j=0}[F(\varphi(t))]^{t_{j+1}}_{t_{j}} \nonumber \\
&= \sum^{n-1}_{j=0}(F(\varphi(t_{j+1}))-F(\varphi(t_{j}))) \nonumber \\
&= F(\varphi(b))-F(\varphi(a))
\end{align}
となります.
　そして曲線の始点と終点が一致している場合, すなわちが閉曲線の場合なので,
\begin{align}
\oint^{}_{C}f(z)dz = 0 \nonumber
\end{align}
となります. これが, コーシーの積分定理と呼ばれるものです. 領域の条件, 曲線の条件, 関数の条件まで含めて書くと, コーシーの積分定理は次のようなことです.

コーシーの積分定理
　領域を単連結領域, 区分的に滑らかな曲線を内で定義された閉曲線とする. このとき, 関数が上で正則ならば,
\begin{align}
\oint^{}_{C}f(z)dz = 0 \nonumber
\end{align}
となる.

　このコーシーの積分定理は, その美しさと実用性を兼ね備えた, 重要で強力な公式です. 私はまだまだ数学について知らないことばかりですが, 手元にある複素関数論の本には軒並み「コーシーの積分定理は何十年に一度出るか出ないかのレベルの数式」「コーシーの積分定理ほど簡単で内容豊富な定理は数学の中でもそう多くない」と書かれています.
　また, コーシーの積分定理の導出過程を見たみなさんは, 次の式が成立することもわかるでしょう.

　領域を単連結領域, 曲線を, いずれも任意の点を始点と終点にもつ, 区分的に滑らかな上の曲線とする. このとき関数が上で正則ならば,
\begin{align}
\int^{}_{C_{1}}f(z)dz =\int^{}_{C_{2}}f(z)dz \nonumber
\end{align}

　わかりやすくいえば, 「単連結領域上の正則関数の積分値は, 曲線の始点と終点の情報だけで決まり, 積分路は関係ない」ということです.
　このコーシーの積分定理を前提として, ここから複素関数論の様々な美しい定理たちが導かれます. まだ知らない人は期待していてください. 次回は「積分定理」を実際の積分に利用するための「積分経路の変形」について話します.

複素解析をざっとまとめるー16（複素関数の積分その１）

目次

複素関数の積分

　さて複素積分にいきましょう. 複素積分は美しい定理が目白押しです. 面白いですよ. では微分のときと同様, 実関数の復習からいきましょう.

リーマン積分

を閉区間で定義された連続関数とする. 実数直線上のこの区間の上に個の分割点
\begin{align}
a = x_{0}< x_{1}<\cdots < x_{N} = b \nonumber
\end{align}
を取ると, との積によりリーマン和が以下のように定義できる.
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-1}f(x_{k})\Delta x_{k}=\sum_{k=0}^{N-1}f(x_{k})(x_{k+1}-x_{k}) \nonumber
\end{align}
　このリーマン和はを無限に増やし, 分割点同士の差を一様にに近づけることである値に収束する. 連続関数においては, この収束値を積分値と呼び, 次のように書く.
\begin{align}
\int^{b}_{a}f(x)dx \nonumber
\end{align}
　特に, が区間 ]の全ての点で微分可能ならば次が成立する.
\begin{align}
\int^{b}_{a}f'(x)dx = f(b)-f(a) \nonumber
\end{align}
　これを微積分学の基本定理という.

線積分

　2変数関数に対しては, 線積分と面積分を定義することができます. まずは線積分から.
　リーマン積分のときには閉区間 ]を考えました. これはすなわち始点と終点の情報だけを考えていたということです. 線積分とは, 平面内の始点と終点に加え, 始点から終点へ至る経路も指定して積分するものです. 複素積分といえば, 普通は複素線積分を表します. 面積分が全く無意味という訳ではありません. しかし, 複素積分に現れる様々な美しい定理は原則として線積分の上に成立しており, 面積分に立脚した強力な理論体系が構築されていないことがその理由でしょう.
　線積分は実数直線上の微積分学の基本定理を一般化したものです. 平面上のある曲線を考えましょう.
　曲線の座標はパラメータを用いて,
\begin{align}
C = \{(u(t),v(t))\in \mathbb{R}^{2}|t\in[a,b]\} \nonumber
\end{align}
と表せるとします. そしてこのの閉区間を個の分割点で分割します.
\begin{align}
a = t_{0}< t_{1}<\cdots < t_{N}=b \nonumber
\end{align}
　連続する2つの分割点間の距離をとします.
　この分割に基づいて曲線上の点を
\begin{align}
P_{i} = (u(t_{i}),v(t_{i}))\quad (i = 0,1,\cdots,N) \nonumber
\end{align}
と定め, さらに
\begin{align}
s_{i} = |P_{i}P_{i-1}|\nonumber
\end{align}
とします. すなわちはとの距離を表します.
　そして曲線上の線積分を次のように定義します.

\begin{align}
\int^{}_{C}f ds =\lim_{|\Delta|\to 0}\sum_{i=1}^{N}f(P_{i})s_{i} \nonumber
\end{align}

　を別の値に置き換えることで, 線積分の変種が定義できます.

　線積分の変種
\begin{align}
\int^{}_{C}fdx &= \lim_{|\Delta|\to0}\sum_{i = 0}^{N}f(P_{i})(u(t_{i})-u(t_{i-1})) \tag{1} \\
\int^{}_{C}fdy &= \lim_{|\Delta|\to0}\sum_{i = 0}^{N}f(P_{i})(v(t_{i})-v(t_{i-1})) \tag{2}
\end{align}
(1)をのに沿った方向の線積分, (2)をのに沿った方向の線積分と呼ぶ.

　つまり線積分とは, 曲線上のそれぞれの点に対して値が関数で定められていて, その値の総和ということなわけです. もし関数が常にを取る定数関数ならば, 次のようになるのはわかりますか.
\begin{align}
\int^{}_{C}1 ds = \mbox{曲線} C \mbox{の長さ} \nonumber
\end{align}
　これは線積分の定義から曲線の長さが分かる, というよりはこれが曲線の長さの定義です.
　線積分で注意する点は, まず, 始点から終点までどのような曲線に沿って線積分を行うかで, 結果の値は異なるということです. 始点から終点までの「経路」という言い方をよくします. 始点から終点まで, 一直線の直線を選んだ場合と, ちょっと曲がった経路を選んだ場合では, 始点と終点が同じでも線積分の結果は異なります.

　もう1つの注意点は, 曲線に「向き[方向]」が決められているということです. 当然, 始点から終点への方向へ向かうのです. 向きが変われば, 線積分の値も変化します.

　曲線に逆の向きを指定した曲線をと書きます. このとき, 曲線の向きについて次のような重要な性質があります.

曲線の向きと線積分
\begin{align}
\int^{}_{C^{-1}}fdx &= -\int^{}_{C}fdx \nonumber \\
\int^{}_{C^{-1}}fdy &= -\int^{}_{C}fdy \nonumber \\
\int^{}_{C^{-1}}f ds &= \int^{}_{C}f ds \nonumber
\end{align}

　また, 2つの経路の結合で定められる経路をと書くと, 次式が成立します.

経路の結合
\begin{align}
\int^{}_{C_{1}C_{2}}f ds = \int^{}_{C_{1}}f ds+\int^{}_{C_{2}}f ds \nonumber
\end{align}
経路がの個の経路の結合経路の場合
\begin{align}
\int^{}_{C_{1}C_{2}\cdots C_{n}}f ds = \sum^{n}_{k=1}\int^{}_{C_{k}}f ds \nonumber
\end{align}

例題1
とする. 始点から終点までの経路が, 次の図で示す経路であるとき, 線積分
\begin{align}
\int^{}_{C}f(x,y)dx \nonumber
\end{align}
の値をそれぞれ求めよ.

(1)
(2)

周回積分

　線積分において経路が閉じている, すなわち始点と終点が一致しているとき, このような経路に沿った線積分を特に周回積分と呼び, 記号では,
\begin{align}
\oint_{C}f ds
\end{align}
と書きます. このような閉じた曲線のことを閉曲線といいます. この場合の経路にも向きは決められていて, 一般的には始点から出発して反時計まわりに進んでいく方向を正の向きといいます. 直感的に説明すると, 自分が経路の上に立って両手を横に伸ばして歩いてゆくときに, 常に左手が経路の内側に入っているような進行方向が正の向きです.
　また, 閉曲線の中でも, 始点と終点以外では自己交叉しないものを単純閉曲線といいます.

面積分

　関数に経路に基づく微小な値あるいはあるいはを掛け, その値を経路に沿って足し上げる積分を線積分というのでした.
　これに対し面積分とは, 関数に面積に基づく微小な値を掛け, 面積に沿って足し上げるというものです. 平面上のある領域に対し, 面積分は次のように定義されます.

　面積分
　平面上の領域に対し面積分は
　\begin{align}
　\int^{}_{D}f(x,y)dS \nonumber
　\end{align}
　ただしは領域内の微小な長方形の面積. すなわち
　\begin{align}
　dS = dx\cdot dy \nonumber
　\end{align}
　よって面積分は次のように書ける.
　\begin{align}
　\int^{}_{D}f(x,y)dS &= \iint^{}_{D}f(x,y)dxdy \nonumber \\
　&=\lim_{i,j\to\infty}\sum_{i,j}f(x_{i},y_{j})(x_{i+1}-x_{i})(y_{j+1}-y_{j}) \nonumber \\
　&= \lim_{\Delta\to0}\sum_{i,j}f(x_{i},y_{j})\Delta x_{i}\Delta y_{j} \nonumber
　\end{align}

例題2
関数に対して面積分を求めよう. ただし領域を
\begin{align}
D = \{(x,y)\,|\,0\leq x \leq 1,0\leq y\leq 1\} \nonumber
\end{align}
を満たす正方形の領域とします.

例題解答

例題解答1
(1)経路上を移動する点をパラメータを用いてと表すと, はの間をの方向へ変化します. より,
\begin{align}
\int^{}_{C_{1}}f(x,y)dx &=\int^{}_{C_{1}}f(x,y)\frac{dx}{dt}dt \nonumber \\
&= \int^{1}_{0}(t^{2}+4t^{2})\cdot 1 dt \nonumber \\
&=\left[\frac{1}{3}t^{3}+\frac{4}{3}t^{3}\right]^{1}_{0} \nonumber \\
&= \frac{5}{3} \nonumber
\end{align}
(2)を点としよう. そして点から点までの経路を, 点から点までの経路をとしよう. するとそれぞれの経路はパラメータを用いて
\begin{align}
C_{2}':x(t)=t,\quad y(t)=0\qquad(0\leq t\leq 1,0\to1) \nonumber \\
C_{2}'':x(t)=1,\quad y(t)=t\qquad(0\leq t\leq 2,0\to2) \nonumber
\end{align}
と表せます. なので線積分は
\begin{align}
\int^{}_{C_{2}}f(x,y)dx &=\int^{}_{C_{2}'}fdx+\int^{}_{C_{2}''}fdx \nonumber \\
&=\int^{1}_{0}(t^{2}+0)\cdot1dt+\int^{2}_{0}(1^{2}+t^{2})\cdot0dt \nonumber \\
&= \left[\frac{1}{3}t^{3}\right]^{1}_{0} \nonumber
\end{align}
線積分の値が, 一般には経路に依存することが分かってもらえましたか？
例題解答2
\begin{align}
\iint^{}_{D}\sqrt{x+y}\,dxdy &= \int^{1}_{0}\left(\int^{1}_{0}\sqrt{x+y}\,dx\right)dy \nonumber \\
&= \int^{1}_{0}\left[\frac{2}{3}(x+y)^{3/2}\right]^{y=1}_{y=0}dy \nonumber \\
&= \frac{2}{3}\int^{1}_{0}\left( (x+1)^{3/2}-x^{3/2}\right)dy \nonumber \\
&= \frac{2}{3}\left[ \frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{5}x^{5/2}\right]^{1}_{0} \nonumber \\
&= \frac{4}{15}\left(2^{5/2}-1-1 \right) = \frac{8}{15}(2\sqrt{2}-1) \nonumber
\end{align}

複素解析をざっとまとめるー15（第３章の章末問題の解答）

目次

(1)

\begin{align}
u_{x} &=3x^{2}+6xy-3y^{2} \nonumber \\
u_{y} &=3x^{2}-6xy+3y^{2} \nonumber
\end{align}
となります. CR関係式より,
\begin{align}
v_{x} &=-u_{y}\nonumber \\
&=-3x^{2}+6xy-3y^{2} \tag{1} \\
v_{y} &=u_{x}\nonumber \\
&= 3x^{2}+6xy-3y^{2}\tag{2} \\
\end{align}
　(1)より
\begin{align}
v &= -x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+c_{1}(y) \tag{3}
\end{align}
　(2)より
\begin{align}
v &= -y^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+c_{2}(x) \tag{4}
\end{align}
　(3)と(4)を比較しては
\begin{align}
v = -x^{3}-y^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+C\quad(C\mbox{は実定数}) \nonumber
\end{align}
　よっては
\begin{align}
f(z)&=(x-y)(x^{2}+y^{2}+4xy)+i(-x^{3}-y^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+C) \nonumber \\
[&= (1-i)z^{3}+iC] \nonumber
\end{align}

(2)

「にの項が存在しない」ということは
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0 \nonumber
\end{align}
ということです. に注意すると
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \overline{z}}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \overline{z}}
\end{align}
　ここで,
\begin{align}
x &= \frac{z+\overline{z}}{2} \nonumber \\
y &= \frac{z-\overline{z}}{2i} \nonumber
\end{align}
より,
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} &=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right) \nonumber \\
&= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial y} \right)
\end{align}
がCR関係式を満たすならば
\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial y} = 0 \nonumber \\
\therefore \quad \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0
\end{align}
　よって「複素関数がコーシーリーマン関係式を満たす」ことと「にの項が存在しない」ことは等しいのです.

(3)

　CR関係式より
\begin{align}
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}
&=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y} \right)\nonumber \\
&=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial y} \right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{\partial v}{\partial x} \right)\nonumber \\
&= 0
\end{align}
同様にして
\begin{align}
\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}
&=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial x} \right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial y} \right)\nonumber \\
&=\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{\partial u}{\partial y} \right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \right)\nonumber \\
&= 0
\end{align}
　上の解答で,
\begin{align}
\frac{\partial^{2} u}{\partial x\partial y} &= \frac{\partial^{2} u}{\partial y\partial x} \nonumber \\
\frac{\partial^{2} v}{\partial x\partial y} &= \frac{\partial^{2} v}{\partial y\partial x} \nonumber
\end{align}
を普通に使っていますが, これが成立する条件をちゃあんと覚えていますか？シュワルツの定理と呼ばれるものです.

シュワルツの定理[シュヴァルツの定理]
　変数関数を異なる2つの変数で2階偏微分した結果について, が存在し, かつが連続ならば, が存在して
\begin{align}
f_{x_{j}x_{k}}=f_{x_{k}x_{j}} \nonumber
\end{align}
が成立する.

　実用的にを考えるときには, 次の系の形を覚えておけば十分です.

　のすべての2階偏導関数が存在してそれらが連続ならば, 2階偏導関数の値は微分の順序に依存しない.

(4)

　直交座標系(デカルト座標系, あるいはカーテシアンともいう)と極座標系の相互関係
\begin{align}
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \theta=\tan^{-1}\frac{y}{x} \nonumber
\end{align}
より,
\begin{align}
\frac{\partial r}{\partial x}
&= \frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2 + y^2} \nonumber \\
&= \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + y^2}}\nonumber \\
&= \frac{x}{r} \nonumber \\
&= \cos\theta \nonumber
\end{align}
　また, 逆三角関数の微分
\begin{align}
(\tan^{-1}x)' = \frac{1}{1+x^{2}} \nonumber
\end{align}
を用いて,
\begin{align}
\frac{\partial\theta}{\partial x}
&=\frac{\partial}{\partial x}\tan^{-1}\frac{y}{x}\nonumber \\
&= \frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\left(-\frac{y}{x^2}\right)\nonumber \\
&= -\frac{y}{x^2+y^2}\nonumber \\
&=-\frac{r\sin\theta}{r^{2}} \nonumber \\
&= -\frac{\sin\theta}{r}\nonumber
\end{align}
　同様にして,
\begin{align}
\frac{\partial r}{\partial y}
&= \frac{\partial}{\partial y}\sqrt{x^2 + y^2} \nonumber \\
&= \frac{2y}{2\sqrt{x^2 + y^2}}\nonumber \\
&= \frac{y}{r} \nonumber \\
&= \sin\theta \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\frac{\partial\theta}{\partial y}
&=\frac{\partial}{\partial y}\tan^{-1}\frac{y}{x}\nonumber \\
&= \frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\left(\frac{1}{x}\right)\nonumber \\
&= \frac{x}{x^2+y^2}\nonumber \\
&=\frac{r\cos\theta}{r^{2}} \nonumber \\
&= \frac{\cos\theta}{r}\nonumber
\end{align}
　これらを,
\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x} \nonumber \\
\frac{\partial u}{\partial y} &= \frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial y} \nonumber
\end{align}
に代入すると,
\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial x} &=\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta-\frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\sin\theta}{r} \nonumber \\
\frac{\partial u}{\partial y} &=\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\cos\theta}{r} \nonumber
\end{align}
となります. は上式のを単にに置き換えただけの式なります. よってCR関係式は
\begin{align}
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta-\frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\sin\theta}{r}&=\frac{\partial v}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial \theta}\frac{\cos\theta}{r} \nonumber \\
\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\cos\theta}{r}&=- (\frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta-\frac{\partial v}{\partial \theta}\frac{\sin\theta}{r} \nonumber \ ]
\end{cases}
\end{align}
　式(1),(2)のそれぞれの両辺にをかけて整理すると
\begin{align}
\begin{cases}
(r\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\partial v}{\partial \theta})\cos\theta- (\frac{\partial u}{\partial \theta}+r\frac{\partial v}{\partial r})\sin\theta &= 0 \nonumber \\
(r\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\partial v}{\partial \theta})\sin\theta+ (\frac{\partial u}{\partial \theta}+r\frac{\partial v}{\partial r})\cos\theta &= 0 \nonumber
\end{cases}
\end{align}
　連立方程式を行列で表すと
\begin{align}
\begin{pmatrix}
r\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\partial v}{\partial \theta} \\
\frac{\partial u}{\partial \theta}+r\frac{\partial v}{\partial r}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
\nonumber
\end{align}
となります. 行列
\begin{align}
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\nonumber
\end{align}
は正則行列なので, 両辺にその逆行列を右側からかけることで,
\begin{align}
\begin{pmatrix}
r\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\partial v}{\partial \theta} \\
\frac{\partial u}{\partial \theta}+r\frac{\partial v}{\partial r}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
\nonumber
\end{align}
　よってCR関係式は極座標系では
\begin{align}
r\frac{\partial u}{\partial r} &= \frac{\partial v}{\partial \theta} \nonumber \\
\frac{\partial u}{\partial \theta} &= -r\frac{\partial v}{\partial r} \nonumber
\end{align}
となります.

複素解析をざっとまとめるー14（第３章の章末問題）

目次

章末問題

(1)複素関数は正則関数であるとします. が次式で与えられるとき, CR関係式を用いてそれぞれの場合のを求めましょう.
\begin{align}
\quad u(x,y) &=(x-y)(x^{2}+y^{2}+4xy) \nonumber
\end{align}
(2)「複素関数がコーシーリーマン関係式を満たす」ことと「にの項が存在しない」ことは等しいことを示してください.
(3) 複素関数が正則ならば, 実部および虚部の関数はそれぞれ, 以下のラプラス方程式を満たすことを示してください.
\begin{align}
\Delta u &= \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 \nonumber \\
\Delta v &= \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}=0 \nonumber
\end{align}
はラプラシアンと呼ばれる微分作用素です. 一般にラプラス方程式を満たす関数を調和関数と言います.
(4)CR関係式は極座標で表すとどのようになりますか.

複素解析をざっとまとめるー13（複素関数の微分その３）

目次

正則性

　正則について話します. 複素関数が複素微分可能である条件(CR関係式)は, 実微分可能の条件よりも強いものでした. 正則は, そのCR関係式よりもさらに強い条件を要請します. さらに, あらゆる点で正則な関数をトクベツに正則関数と呼んでいます. この条件をクリアする関数はとても優秀な[我々にとって都合のいい]性質を示します. 優等生のような関数です. 正則と正則関数の定義は次です.

正則
　複素平面上の領域で定義された複素関数が, 点のある近傍で微分可能なとき, は点で正則であるという.
正則関数
　複素平面上の領域で定義された複素関数が, 上の全ての複素数について複素微分可能であるとき, は上で正則であるという. また, このときを上の正則関数という.

　この「複素平面上の領域で定義された複素関数が～」という表現はテキストなどにもよく出てきます. ここでいう領域とは, 実関数でいう定義域のことです. 実数と違い複素数は複素平面上で幾何的に捉えることができるので, 「領域」ということばを使っているわけです. 同様に複素平面上の「点」とは複素数のことです. 厳密さに敏感なあなたは, 「領域」ということばの定義が気になっているかもしれませんね. 解析学において「領域」とは普通, 「空集合ではない連結開集合」のことです. 空集合については, 説明は大丈夫でしょう. 「連結」という概念を説明するには位相空間論について話さなければいけないのですが, それをすると長くなるので今は「連結」に近い「弧状連結」の定義でガマンしてください.

弧状連結
　空間内の空でない部分集合について, 内の任意の2点が, 内を通る連続な曲線で結べるとき, は弧状連結であるという.

　本来は「連結」と「弧状連結」の定義は異なります. 弧状連結のほうが強い条件を要請する性質です. しかし複素解析論のテキストによっては「弧状連結な開集合を領域という. 」と書いてあります.
　そして開集合を説明します.

開集合
　ある平面上の部分集合が開集合であるとは, に任意の点に関して, 点を中心とする半径の開円板がとれることをいう.

　まぁつまり, 直感的には, 「領域の周りのふち[=境界]がに含まれない集合」ということです.
　複素微分可能と正則の定義は, ほとんど一緒だが僅かに異なることがわかりますか？複素微分可能, すなわちCR関係式を満たすことは, 複素平面上のある1点のみでも定義できました. 複素関数は点でのみ複素微分可能である, というのは数学的に誤っていません.
　しかし, 点でのみ複素微分可能な複素関数は, 点で正則である, というのは誤りです. 1点のみで複素微分可能な場合には, その点で正則とはいえません. 点のある近傍でも複素微分可能であるとき, 点で正則であると言えるのです. 当然, これはCR関係式を満たすことよりも強い条件です.
　という風に, 複素微分可能と正則の違いを語ったわけですが, ある1点でのみ複素微分可能な複素関数というのはまぁ, 複素解析を勉強するときにはほとんど考えません. 複素解析のメインの目的の1つは正則関数の性質を理解することなので, 実質的にはCR関係式を満たすこと, あるいは前回いったようにをで表したときにが含まれないことが満たされていれば, それはもう正則だといっていいでしょう. ただ, 複素微分可能と正則の定義は違うのだということは覚えておいてくださいね.
　実関数の微分と同じような次の性質が正則関数にも認められます.

正則関数の基本的性質
　複素関数がどちらも領域上で正則であるとき, 次が成立する.
\begin{align}
\{f(z)\pm g(z)\}' &= f'(z)\pm g'(z) \tag{1} \\
\{f(z) g(z)\}' &=f'(z) g(z)+f(z) g'(z) \tag{2} \\
\left\{\frac{f(z)}{g(z)}\right\} &= \frac{f'(z) g(z)-f(z) g'(z)}{\{g(z)\}^2} \tag{3} \\
\{g(f(z))\}' &= g'(f(z))f(z) \tag{4}
\end{align}
　ただし, それぞれの左辺の関数が領域上で定義できる必要がある.

　また, おなじみの関数たちも複素平面全体で正則関数です. おなじみの関数というのは, やのことです.

正則関数のもつ性質

　正則関数はとても優等生な関数で, 多くの性質を持っています. ここでは代表的なものを2つ挙げます.
(1) 正則関数は解析性を持つ
(2) 正則関数は等角性を持つ
　(1)を話します.
　これは非常に重要な性質です. この性質から派生して, いくつかの重要な定理を語ることができます.
　まず「解析性」の定義を述べておきます.

解析性
　ある領域で定義された関数が, の各点の近傍で収束ベキ級数に展開できるとき, は解析的である, あるいはは解析関数であるという.

　そして, 正則関数ならば解析関数です. この逆命題も成立します. すなわち, 領域上の正則関数は, 領域の各点で収束ベキ級数に展開できます. ベキ級数を定義しましょう.

ベキ級数
を複素定数, を複素数の変数とし, 次の形の級数,
\begin{align}
\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}(z-c)^{n}= a_{1}(z-c)+a_{2}(z-c)^{2}+\cdots \nonumber
\end{align}
をを中心とするベキ級数という.

　収束ベキ級数とは, 収束するベキ級数のことです.
　関数は当然複素数全体で正則な関数ですから, その累乗の和
\begin{align}
z+z^{2}+z^{3}+\cdots \nonumber
\end{align}
も関数としては正則になります. は定数なので, ベキ級数
\begin{align}
\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}(z-c)^{n} \nonumber
\end{align}
が正則であるのは容易にわかります. 一方, 正則関数が解析的であることの証明には複素積分の知識を必要とするので, ここから先は第5章にまわしたいと思います.
　元来, 正則関数は領域上の複素微分可能性から定義される概念であり, 一方の解析関数は領域上の収束ベキ級数展開から定義される概念であるので, 両者は違う概念なのですが, 結果的に「が正則関数」というのと「解析関数」というのは同じ意味になっているのです.
　(2)を話します.
　「等角性を持つ」は「等角写像である」とも言います. 等角写像について説明しましょう. 平面上の2曲線が, 平面から平面への写像により, 平面上の2曲線にそれぞれ写されるとします. さらに, 2曲線の交点がにより2曲線の交点に写されるとします. すなわちということです. このとき, 2曲線の点でのなす角と2曲線点でのなす角が等しいとき, は点で等角写像であるといいます. そして, 正則関数の持つ等角性とは, 厳密にいうと次のようなものです.

正則関数の等角性
　複素関数は, 点で正則であるとする. このとき, を満たすならば, は等角写像である.
　すなわち, が平面上の領域で正則な関数ならば, であるすべての点では等角写像である.

　さて, まずは「2曲線の点でのなす角」を説明しましょう.点は2曲線の交点です.
　 2曲線の点でのなす角とは, 曲線の点での接線と曲線の点での接線のなす角のことです.
　　平面上に, パラメータを用いて2曲線
　\begin{align}
　C_{1}&:Z_{1}(t) \nonumber \\
　C_{2}&:Z_{2}(t) \nonumber
　\end{align}
　が定義されているとします. 当然, は点で交わります. すなわち, です. いま, 曲線上の点と, 曲線上の点とをそれぞれ結んだ直線を考えます. この2直線をそれぞれとします.
　はすべて複素数なので, この2直線のなす角は,
　\begin{align}
　\arg\frac{ Z_{1}(t_{1})-Z_{1}(z_{0})}{Z_{2}(t_{2})-Z_{2}(z_{0})} \nonumber
　\end{align}
　です. さて, をにおけるの接線にするために, をそれぞれに近づけた極限を考えましょう. 当然, 微分の定義より,
　\begin{align}
　\lim_{t_{1}\to z_{0}}\frac{Z_{1}(t_{1})-Z_{1}(z_{0})}{t_{1}-z_{0}} &= Z_{1}^{'}(z_{0}) \nonumber \\
　\lim_{t_{2}\to z_{0}}\frac{Z_{2}(t_{2})-Z_{2}(z_{0})}{t_{2}-z_{0}} &= Z_{2}^{'}(z_{0}) \nonumber
　\end{align}
　となります. よって, 直線がにおけるの接線である場合には, 2直線のなす角は,
　\begin{align}
　\arg \frac{Z_{1}^{'}(z_{0})}{Z_{2}^{'}(z_{0})} = \arg\left(Z_{1}^{'}(z_{0})\right)-\arg\left(Z_{2}^{'}(z_{0})\right) \tag{1}
　\end{align}
　これが, 2曲線の点でのなす角です.
　そして等角写像の証明をしましょう. 平面から平面への写像により, 平面上の曲線がそれぞれ平面上の曲線
　\begin{align}
　\Gamma_{1}:W_{1}(t) &= f\left(Z_{1}(t)\right) \nonumber \\
　\Gamma_{2}:W_{2}(t) &= f\left(Z_{2}(t)\right) \nonumber
　\end{align}
　に写るとします.また, ,,が成立しているとします. は正則関数ですから,微分可能です. このとき, 平面上の2曲線の点でのなす角(式(1))は, のなす角と同様,
　\begin{align}
　\arg \frac{W_{1}^{'}(w_{0})}{W_{2}^{'}(w_{0})} = \arg\left(W_{1}^{'}(w_{0})\right)-\arg\left(W_{2}^{'}(w_{0})\right) \tag{2}
　\end{align}
　となります. ここで, 曲線は, 合成関数の微分法則より
　\begin{align}
　W_{1}^{'}(w_{0}) &= \{f\left(Z_{1}(z_{0})\right)\}' \nonumber \\
　&= f'\left(Z_{1}(z_{0})\right)Z_{1}^{'}(z_{0}) \nonumber \\
　W_{2}^{'}(w_{0}) &= \{f\left(Z_{2}(z_{0})\right)\}' \nonumber \\
　&= f'\left(Z_{2}(z_{0})\right)Z_{2}^{'}(z_{0}) \nonumber
　\end{align}
　これらを式(2)の左辺に代入すると,
　\begin{align}
　\arg \frac{W_{1}^{'}(w_{0})}{W_{2}^{'}(w_{0})} &= \arg \frac{ f'\left(Z_{1}(z_{0})\right)Z_{1}^{'}(z_{0}) }{f'\left(Z_{2}(z_{0})\right)Z_{2}^{'}(z_{0}) } \nonumber \\
　&= \arg \frac{Z_{1}^{'}(z_{0})}{Z_{2}^{'}(z_{0})}
　\end{align}
　となります. これにより
　\begin{align}
　\arg \frac{W_{1}^{'}(w_{0})}{W_{2}^{'}(w_{0})}=\arg \frac{Z_{1}^{'}(z_{0})}{Z_{2}^{'}(z_{0})} \nonumber
　\end{align}
　すなわち, 平面上の2曲線のでのなす角と, 平面上の2曲線のでのなす角が等しいことがわかるのです.
　具体的に等角性を確かめてみましょう！最も簡単な正則関数を例にとります.
　は複素数全体で正則な関数です. CR関係式を用いて正則性を検証するのはここでは省略します.
　とすると,
\begin{align}
f(z) &= (x+iy)^{2} \nonumber \\
&= x^{2}-y^{2}+2ixy \nonumber \\
[ &= u(x,y)+iv(x,y)] \nonumber
\end{align}
当然
\begin{align}
u(x,y) = x^{2}-y^{2} ,\quad v(x,y) = 2xy \nonumber
\end{align}
です.
　さて, 平面上の2直線
\begin{align}
C_{1}:x &= a\quad (a\neq0)\nonumber \\
C_{2}:y &= b\quad(b\neq0)\nonumber
\end{align}
がによってどのように平面上に移されるのか考えましょう. 直線をに代入すると,
\begin{align}
u(x,y)&=a^{2}-y^{2} \nonumber \\
v(x,y) &= 2ay \nonumber
\end{align}
となります. よって, は平面上で
\begin{align}
\Gamma_{1}:u = -\frac{1}{4a^{2}}v^{2}+a^{2} \nonumber
\end{align}
を満たすで与えられます. 次にを代入すると,
\begin{align}
u(x,y)&=x^{2}-b^{2} \nonumber \\
v(x,y) &= 2by \nonumber
\end{align}
となります. よって, は平面上で
\begin{align}
\Gamma_{2}:u = \frac{1}{4b^{2}}v^{2}+b^{2} \nonumber
\end{align}
を満たすで与えられます. はどちらも平面(ここでは軸方面にを, 軸方面にをとった平面)上のグラフを表しています.
　平面上で2直線は点で交わり, その点でのなす角は当然, となります. 平面上でのの交点のなす角もとなっていれば等角性もっていることがわかるでしょう.
　まず, の交点を求めましょう. 式より,
\begin{align}
-\frac{1}{4a^{2}}v^{2}+a^{2}&=\frac{1}{4b^{2}}v^{2}+b^{2} \nonumber\\
\frac{v^{2}}{4}\left(\frac{1}{a^2
}+\frac{1}{b^{2}} \right) &= a^{2}+b^{2} \nonumber \\
v^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}} \right) &=4(a^{2}+b^{2} )\nonumber \\
v^{2} &= 4a^{2}b^{2} \nonumber \\
\therefore \quad v &= \pm 2ab \nonumber
\end{align}
　この結果をの式[当然の式でもよい]に代入すると,
\begin{align}
u &= -\frac{4a^{2}b^{2}}{4a^{2}}+a^{2} \nonumber \\
\therefore \quad u &= a^{2}-b^{2} \nonumber
\end{align}
　よって, は2点で交わることがわかりました.
　ではこの2点でのなす角を調べましょう. まず点から.
の式をについて微分して, を代入します.
\begin{align}
u' &= -\frac{1}{2a^{2}}v \nonumber \\
&= -\frac{2ab}{2a^{2}} = -\frac{b}{a} \nonumber
\end{align}
　これが, 点でのの接線の傾きです. に対しても同様の計算を行うと,
\begin{align}
u' &= \frac{1}{2b^{2}}v \nonumber \\
&= \frac{2ab}{2a^{2}} = \frac{a}{b} \nonumber
\end{align}
となります. これが, 点でのの接線の傾きです.
　2本の接線の傾きを掛け合わせると
\begin{align}
-\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b} = -1 \nonumber
\end{align}
となるため, この2本の接線は点で直交していることがわかりました. 等角性です！すごいですねぇ.
　さて, 同様のことを点に対しても行うと, まずの接線の傾きは,
\begin{align}
u' &= -\frac{1}{2a^{2}}v \nonumber \\
&= \frac{2ab}{2a^{2}} =\frac{b}{a} \nonumber
\end{align}
　そしての接線の傾きは
\begin{align}
u' &= \frac{1}{2b^{2}}v \nonumber \\
&= \frac{-2ab}{2a^{2}} = -\frac{a}{b} \nonumber
\end{align}
　この場合も2つの傾きをかけあわせたら-1になりますね. これが等角性です. 理解していただけましたか？

等角写像

孤立特異点

　複素平面上の領域全体で正則な関数, つまり全ての点で微分可能な関数を正則関数といいましたが, 領域の中にいくつか微分不可能な点が含まれてしまう場合があります. そのような点(であらわすことが多い)を特異点, あるいは孤立特異点と呼びます. この特異点に関する議論も複素解析論では重要です. 特異点に関する性質などは, 複素積分あるいは複素関数の関数的性質を説明してから話そうと思います. 孤立特異点は3つに分類できるんだよ, とかいう話をいつかします.

複素解析をざっとまとめるー12（複素関数の微分その2）

目次

複素関数の微分

複素関数の微分

　複素関数の微分の定義は, 実関数の定義を形式的に複素数に置き換えたものになります.

複素微分の定義
　ある複素関数について, 複素数の極限
\begin{align}
\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} \nonumber
\end{align}
が存在して一意に定まるとき, 複素微分可能であるという. またこの極限を関数の複素微分係数と呼ぶ.

　実微分の復習のところで同様のことを言いましたが, 関数が微分可能というのは, が局所的にの一次関数で近似できるということです. すなわち関数との微小量をそれぞれと書けば, が微分可能ということは,
\begin{align}
\Delta f(z) = \mbox{(定数)}\Delta z \nonumber
\end{align}
と表せるということです. そしてこの定数のことを複素微分係数と呼んでいるのです. 当然, 定数にはなどの変数が含まれていてはダメです.
　これは実解析の定義を複素数に形式的に置き換えただけのように思えます. 全ての複素数は2つの実数と虚数単位で表せました. ということは, 全ての複素関数が2つの実数と虚数単位で表せるはずです. すなわち, とすると, 全てのが
\begin{align}
f(z) = u(x,y)+iv(x,y) \nonumber
\end{align}
の形で表せるということです. たとえば, 複素関数は,
\begin{align}
f(z) &= (x+iy)^{2} \nonumber \\
&= x^{2}-y^{2}+2xyi \nonumber
\end{align}
となります. この場合ではというわけです. このように全ての複素関数が実2変数関数で表せるならば, 複素解析というのは実2変数解析と同じなのでしょうか？《が複素微分可能》ということは, 《がともに微分可能》ということなのでしょうか？答えはNOです.
　複素微分可能の定義では複素数をに近づけた極限を用いています. しかしここでは《どのように近づくか》という《近づき方》までは定義されていません. つまり, 複素数がどのようにに近づいた場合でも極限が一意に定まるなら, その複素関数は複素微分可能ということになるのです. 複素平面上で考えると, 複素数がどのようにに近づいても, というのは直線的に近づいても, うねうね曲がった経路を進んでも, ということです. 螺旋階段のように, の周囲をぐるぐる回りながら徐々に近づくような近づき方でも大丈夫です.
　《どのようにに近づいた場合でも》と聞くと強い条件に感じませんか？実際そうで, 複素微分可能の条件は実関数での微分可能よりも強い条件となっています. の両方が実微分可能でも, は複素微分可能とは限りません.
　では, 具体的に複素微分してみましょう.
例1：
　複素微分の定義より, の微分は
\begin{align}
\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}&= \lim_{h\to 0} \frac{(z+h)^{2}-z^{2}}{h}\nonumber \\
&=\lim_{h\to 0}\frac{2z+h^{2}}{h} \nonumber \\
&= \lim_{h\to 0} (2z+h) \nonumber \\
&= 2z \nonumber
\end{align}
となります. これは予想通りですね.
例2：
　先ほどと同様に, 複素微分の定義より,
\begin{align}
\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}&=\lim_{h\to 0} \frac{(z+h)\overline{(z+h)}-z\overline{z}}{h}\nonumber \\
&= \lim_{h\to 0}\frac{z\overline{h}+h\overline{z}+h\overline{h}
}{h} \nonumber \\
&= \lim_{h\to 0}\left( z\cdot\frac{\overline{h}}{h}+\overline{z}+\overline{h}\right) \nonumber
\end{align}
ここでとおくと, この極限は
\begin{align}
&\lim_{r\to 0}\left(z\cdot\frac{re^{-i\theta}}{re^{i\theta}}+\overline{z} +re^{-i\theta} \right) \nonumber \\
= &\lim_{r\to 0}(ze^{-2i\theta}+\overline{z}+re^{-i\theta}) \nonumber \\
=&ze^{-2i\theta}+\overline{z} \nonumber
\end{align}
　この極限は, のほかに独立な変数としてを持ち, 一意には定まりません. よっては複素微分不可能となります. しかしとすると, 関数は,
\begin{align}
f(z) = x^{2}+y^{2} \nonumber
\end{align}
となります. これは, 実関数としては, 明らかに滑らかな関数です. この関数は複素微分可能の条件が実微分可能の条件よりも強いことを表すいい例です.
　では複素微分不可能な関数とは, どういう関数なのでしょうか？その疑問に対する答えとなるのが, 次に話すコーシー・リーマンの関係式です.

コーシー・リーマンの関係式

として, 複素関数を
\begin{align}
f(z) = u(x,y)+iv(x,y) \nonumber
\end{align}
とします. ここでをだけずらします. つまり, を, をにずらします. すると,
\begin{align}
f(z+h) &= f(x+iy+h_{1}+h_{2}) \nonumber \\
&= u(x+h_{1},y+h_{2})+iv(x+h_{2},y+h_{2}) \nonumber \\
&= u+\frac{\partial u}{\partial x}h_{1}+\frac{\partial u}{\partial y}h_{2}+i\left(v+\frac{\partial v}{\partial x}h_{1}+\frac{\partial v}{\partial y}h_{2} \right)+o(h_{1},h_{2}) \nonumber \\
&= u+iv+\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} \right)h_{1}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y} \right)h_{2}+o(h_{1},h_{2}) \nonumber \\
&= f(z)+\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} \right)h_{1}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y} \right)h_{2}+o(h_{1},h_{2}) \nonumber
\end{align}
となります.
ここで,
\begin{align}
\alpha &=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} \nonumber \\
\beta &=\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}
\nonumber
\end{align}
とおきます. すると, 複素微分の定義は
\begin{align}
\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\alpha h_{1}+\beta h_{2}}{h} \nonumber
\end{align}
となります. またはそれぞれ複素数の実部, 虚部なので,
\begin{align}
h_{1} &= \frac{h+\overline{h}}{2} \nonumber \\
h_{2} &= \frac{h-\overline{h}}{2i} \nonumber
\end{align}
です. これを用いてさらに複素微分の定義を書き換えると,
\begin{align}
\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\left(\alpha\cdot\frac{h+\overline{h}}{2}+\beta\cdot \frac{h-\overline{h}}{2i} \right) \nonumber \\
=\lim_{h\to 0} \left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}\frac{\overline{h}}{h}+\frac{\beta}{2i}- \frac{\beta}{2i}\frac{\overline{h}}{h}\right) \nonumber \\
= \lim_{h\to 0}\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2i}+\left(\frac{\alpha}{2}- \frac{\beta}{2i}\right) \frac{\overline{h}}{h}\right) \nonumber
\end{align}
このの項があると, 極限が一意に定まりません. つまり
\begin{align}
\left(\frac{\alpha}{2}- \frac{\beta}{2i}\right) = 0 \nonumber
\end{align}
ならば極限が一意に定まる, すなわちが複素微分可能となるのです.
　この式にを代入すると,
\begin{align}
\left(\frac{\partial u}{\partial x} +i\frac{\partial v}{\partial x}\right)+i\left( \frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right) = 0 \nonumber \\
\Leftrightarrow \quad \frac{\partial u}{\partial x} +i\frac{\partial v}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial y} = 0 \nonumber \\
\Leftrightarrow \left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right)+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0 \nonumber \\
\therefore \quad \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} =0 \quad \mbox{かつ}\quad \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \nonumber
\end{align}
これが複素関数が複素微分可能となる条件で, コーシー・リーマンの関係式というものです. 通常はCR関係式と表記することが多いですね.

コーシー・リーマン関係式
　複素関数
\begin{align}
f(z) &= f(x+iy) \nonumber \\
&= u(x,y)+iv(x,y) \nonumber
\end{align}
が複素微分可能であるための必要十分条件は,
\begin{align}
\quad \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} =0 \quad \mbox{かつ}\quad \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \nonumber
\end{align}
を満たすことである.

　個人的には, このコーシー・リーマンの関係式を学ぶことで, ようやく複素解析論の入り口に立てるのだと思っています. あなたもこれで深淵なる複素解析論の入り口に立つことができました. ようこそ.

複素微分可能の別表現

複素数に関する複素関数は, と言えます. しかし, 複素共役を用いて実部と虚部がそれぞれ
\begin{align}
x &= \frac{z+\overline{z}}{2} \nonumber \\
y &= \frac{z-\overline{z}}{2i} \nonumber
\end{align}
と表せることを考えると, 複素関数はとも書けます.
このことから, 関数の微小変化は全微分の形式で
\begin{align}
\Delta f = \frac{\partial f}{\partial z}\Delta z +\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\Delta \overline{z} \tag{1}
\end{align}
と表せます. しかし, 複素微分の一番最初のところで話した通り, が複素微分可能ということは,
\begin{align}
\Delta f = \mbox{(定数)}\Delta z \nonumber
\end{align}
と表せる, すなわちの比例関数として書けるということでした. よって式(1)より,
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0 \nonumber
\end{align}
ならば, 関数は微分可能というわけです. ということは, の式にに関する項が存在しないということですから, 複素微分可能の条件は次のように言えます.

複素微分可能の条件
　複素関数が複素微分可能であるための必要十分条件は, を独立変数で表したときに, の項が存在しないことである.

は独立変数と言えないのではないかと思いますか？大丈夫ですよ. 写像は, 全単射写像ですから.
　次のような公式は実解析と同様に成立します.

複素微分の基本公式
\begin{align}
(z^{n})' &=nz^{n-1} \tag{1}\\
(\sin z)' &= \cos z \tag{2}\\
(\cos z)' &=-\sin z \tag{3}\\
(e^{z})' &= e^{z} \tag{4}\\
(\alpha^{z})' &=\alpha^{z}\log (\alpha)\quad (\alpha \neq 0) \tag{5}\\
(\log z)' &= \frac{1}{z}\quad (z\neq 0) \tag{6}\\
(\log f(z))' &= \frac{f'(z)}{f(z)}\quad (f(z)\neq 0)\tag{7}
\end{align}

複素解析をざっとまとめるー11（複素関数の微分その1）

目次

複素関数の微分

　さて, いよいよ複素関数の微分・積分です. 最初に微分の話からしますが, 微分はすぐに終わります. 実関数の復習からいきましょう.

実関数の微分の復習

微分

　実関数での微分の定義は次のようなものでした.

実関数の微分
　関数について, 極限
\begin{align}
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \nonumber
\end{align}
が存在し一意に定まるとき, 関数は微分可能という. またこの極限を微分係数といい, 記号やで表す.

　微分可能というのは, 関数を局所的に一次関数で近似できるということです. この《局所的》ということばを, 数学では《微小》というのでした. すなわち, 関数が点で微分可能なとき,
\begin{align}
f(x+h) = f(x)+\frac{d}{dx}\,f(x)h+o(h) \nonumber
\end{align}
となります. ただし, はとするとになる項です.

偏微分

　偏微分の復習もしましょう. 変数が複数ある関数に対し, ある1つの変数に注目してそれ以外の変数は全て定数項とみなして微分することを偏微分といいます. たとえば, 2変数関数をについて偏微分することを, 記号ではやと書きます.
　偏微分の場合, どの変数に注目して微分するかによって当然ながら計算結果が変わります. 関数をについて偏微分した場合とについて偏微分した場合では結果が違うということです.
　が変数について偏微分可能なとき, を微小に変化させると, それぞれ次の式が成立します.
\begin{align}
f(x+\Delta x,y) &= f(x,y)+\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\Delta x \nonumber \\
f(x,y+\Delta y) &= f(x,y)+\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)\Delta y \nonumber
\end{align}
ただしはそれぞれ, 変数の微小量です. は慣習的に, 微小量を表す記号です. しかし, 無限小ではありません.

全微分

　多変数の関数について, 全ての変数を微小に変化させたものの変化の度合いを全微分といいます. たとえば, 2変数関数がで偏微分可能であるとすると, 全ての変数を微小に変化させたときの変化の度合いとは, のことです. これはまずをだけ変化させ, そのあとをだけ変化させたものなので, のにを代入することで,
\begin{align}
f(x+\Delta x,y+\Delta y) &= f(x,y+\Delta y) + \frac{\partial }{\partial x}f(x,y+\Delta y)\Delta x \nonumber \\
&=f(x,y)+\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)\Delta y+\left\{\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)+\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\right)\Delta y\right\}\Delta x \nonumber
\end{align}
となります. ここでは微小量同士の積なので無視できるほど十分小さく,
\begin{align}
f(x+\Delta x,y+\Delta y) = f(x,y) +\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\Delta x+\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)\Delta y \nonumber
\end{align}
となります. をと表すと, 上式は次のようになります.
\begin{align}
\Delta f = \frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\Delta x+\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)\Delta y \nonumber
\end{align}
　ここで, 微小量を表すを, 無限小を表すに置き換えます. すると上式は,
\begin{align}
d f = \frac{\partial }{\partial x}f(x,y)d x+\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)d y \nonumber
\end{align}
　これが, 関数の全微分です.

複素解析をざっとまとめるー8（様々な複素関数その4）

目次

複素三角関数

複素三角関数の定義

　オイラーの公式を使うとはそれぞれ,
\begin{align}
\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \nonumber \\
\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \nonumber
\end{align}
と表せます. このは実数ですが, 複素数の三角関数はこの実数を複素数に書き換えるだけで大丈夫です. すなわち複素数の三角関数は

複素三角関数-1
\begin{align}
\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \nonumber \\
\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \nonumber\\
\tan z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})} \nonumber
\end{align}

となります. 指数関数を用いて複素三角関数を定義できるのです.
指数関数と同様の方法で定義すると, はそれぞれ,

複素三角関数-2
\begin{align}
\sin z &= z^{1}-\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}-\frac{z^{7}}{7!}+\cdots \nonumber \\
\cos z &= z^{0}-\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}-\frac{z^{6}}{6!}+\cdots \nonumber
\end{align}

と定義できます.
　この関数を見て, 実関数の双曲線関数を思い出しましたか？双曲線関数とは, 次のようなものでした.

双曲線関数

双曲線関数のグラフも載せておきましょう.

双曲線関数

　この双曲線関数を用いると, 複素三角関数を実部と虚部に分解できます. それは次のような式です. とすると,

　三角関数の加法定理に似てますね. 証明しましょう.

ほらね.

三角関数の基本的性質

　複素三角関数では, 実三角関数と同様に, 次の式が成立します.
\begin{align}
(1)
\begin{cases}
\cos(-z) =\cos z \\
\sin(-z)= -\sin z \\
\tan(-z)=-\tan z
\end{cases}
\nonumber
\end{align}
\begin{align}
(2)
\begin{cases}
\cos z=\cos(z+2n\pi) \\
\sin z=\sin(z+2n\pi) & (n\mbox{は整数}) \\
\tan z = \tan(z+n\pi)
\end{cases}
\nonumber
\end{align}
\begin{align}
(3)\quad \cos^{2}z+\sin^{2}z = 1 \nonumber
\end{align}
\begin{align}
(4)
\begin{cases}
\cos(z_{1}\pm z_{2})= \cos z_{1}\cos z_{2}\mp\sin z_{1}\sin z_{2} \\
\sin(z_{1}\pm z_{2})=\sin z_{1}\cos z_{2}\pm \cos z_{1}\sin z_{2} \\
\tan(z_{1}\pm z_{2}) = \dfrac{\tan z_{1}\pm\tan z_{2}}{1\mp \tan z_{1}\tan z_{2}}
\end{cases}
\nonumber
\end{align}
一応, から順番に証明も書いておきましょう.

\begin{align}
\cos(-z) &= \frac{e^{i(-z)}+e^{-i(-z)}}{2} = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} = \cos z \nonumber \\
\sin (-z)& = \frac{e^{i(-z)}-e^{-i(-z)}}{2} = -\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2} = -\sin z \nonumber \\
\tan (-z) &= \frac{\sin (-z)}{\cos(-z)} = \frac{-\sin z}{\cos z} = -\tan z \nonumber
\end{align}
は簡単ですね. の証明には, 指数関数の周期性を用います.
\begin{align}
\cos(z+2n\pi) &= \frac{e^{i(z+2n\pi)}+e^{-i(z+2n\pi)}}{2} \nonumber \\
&=\frac{e^{iz}\cdot e^{2n\pi i}+e^{-iz}\cdot e^{-2n\pi i}}{2} \nonumber \\
&=\frac{e^{i(z+2n\pi)}+e^{-i(z+2n\pi)}}{2} \nonumber \\
&= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \quad (e^{\pm2n\pi i} = 1) \nonumber \\
&= \cos z \nonumber
\end{align}
の証明も同様にできます.やってみてください.
\begin{align}
\tan(z+n\pi) &= \frac{e^{i(z+n\pi)}-e^{-i(z+n\pi)}}{i(e^{i(z+n\pi)}+e^{-i(z+n\pi)})} \nonumber \\
&= \frac{e^{iz}\cdot e^{in\pi}-e^{-iz}\cdot e^{-in\pi}}{i(e^{iz}\cdot e^{in\pi}+e^{-iz}\cdot e^{-in\pi})} \nonumber \\
&= \frac{e^{iz}\cdot e^{in\pi}-e^{-iz}\cdot e^{in\pi}}{i(e^{iz}\cdot e^{in\pi}+e^{-iz}\cdot e^{in\pi})} \nonumber \\
&= \frac{e^{in\pi}(e^{iz}-e^{-iz})}{i e^{in\pi}(e^{iz}+e^{-iz})} \nonumber \\
&= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})} \nonumber \\
&= \tan z \nonumber
\end{align}
上の2行目から3行目への変形には
\begin{equation}
e^{i(n\pi -2n\pi)} = e^{-in\pi}\quad \mbox{より}\quad e^{in\pi} = e^{-in\pi} \nonumber
\end{equation}
という性質を用いています. これで実三角関数同様, 複素三角関数もとは周期を, は周期を持つことが分かりました. 次はとです.

\begin{align}
\cos^{2}z+\sin^{2}z &=\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}\right)^{2} \nonumber \\
&=\frac{1}{4}(e^{2iz}+2+e^{-2iz})-\frac{1}{4}(e^{2iz}-2+e^{-2iz}) \nonumber \\
&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1 \nonumber
\end{align}

\begin{align}
\cos z_{1}\cos z_{2}\mp \sin z_{1}\sin z_{2} &= \frac{e^{iz_{1}}+e^{-iz_{1}}}{2}\cdot \frac{e^{iz_{2}}+e^{-iz_{2}}}{2}\mp \frac{e^{iz_{1}}-e^{-iz_{1}}}{2i}\cdot \frac{e^{iz_{2}}-e^{-iz_{2}}}{2i} \nonumber \\
&=\frac{1}{4}(e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{i(z_{1}-z_{2})}+e^{-i(z_{1}-z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}) \nonumber \\
&\qquad\pm\frac{1}{4}(e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{i(z_{1}-z_{2})}+e^{-i(z_{1}-z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}) \nonumber \\
&= \frac{1}{2}(e^{i(z_{1}+z_{2})}\pm e^{-i(z_{1}+z_{2})}) \nonumber \\
&= \cos(z_{1}\pm z_{2}) \nonumber
\end{align}
も同様に導けます. 演習問題にしましょう. については, を考えることでこちらもすぐに導けます.

複素三角関数の値域

　これらの性質を見ると実三角関数とほぼ同じのように思えますが, 大きく異なる性質もあります. それは三角関数の値域です.
　実三角関数の値域はどちらも,
\begin{align}
-1\leq \cos x \leq 1 \nonumber \\
-1\leq \sin x \leq 1 \nonumber
\end{align}
です. 絶対値の値域は,
\begin{align}
0\leq|\cos x| \leq 1 \nonumber \\
0\leq |\sin x |\leq 1 \nonumber
\end{align}
となります. 一方複素三角関数の値域はこのようにはなりません. 複素三角関数は複素数なのでそのままでは大小関係の比較ができません. なので複素三角関数の絶対値を考えましょう. まずはについて,

より,

となります. 実数がである場合を考えてみましょう. このときは,

となります. ここでは, のときとなり, が大きくなるにつれていくらでも大きな値を取ることができます. これよりのときの値域は,

となります.

　次にとすると,

となります. は, のときとなり, こちらもが大きくなるにつれていくらでも大きな値を取ることができます. これよりのときの値域は,

となります.
　(ア),(イ)からわかるように, 複素三角関数の絶対値は実三角関数とは全く違います. を調べたのと同様の方法で, の値域も
\begin{equation}
0\leq|\sin z| < \infty \nonumber
\end{equation}
となることがわかります. このように実三角関数と複素三角関数で異なる性質もあるのです.後に説明しますが, 《複素三角関数が有界ではない》という事実はリウヴィルの定理から導かれる性質の一つなのです！

複素解析をざっとまとめるー7（様々な複素関数その3）

目次

累乗関数

累乗関数の定義

　指数関数では《の複素数乗》を定義しました. 今度は《複素数の複素数乗》を定義します. これを累乗関数といいます. 累乗関数についても, 実数の場合の累乗関数を複素数に拡張したものです. 実数での累乗関数は,
\begin{align}
\log (x^{a}) = a\log x \nonumber \\
\therefore \quad x^{a} = \exp\{a\log x\} \nonumber
\end{align}
というものです. 複素数の累乗関数はこの実数を複素数に置き換えるだけです.
　という記号はわかりますか？の指数が長くなるときにはのに指数部分を書くことで見やすくするのです. すなわち, とは数学的に同じもの表します.

累乗関数の定義
複素数について, 累乗関数を
\begin{align}
z^{a} = \exp\{a\log z\} \nonumber
\end{align}
と定義する.

　累乗関数には対数関数が現れます. 対数関数が多価関数だったように, 累乗関数も多価関数になります. つまり, とすると,
\begin{align}
z^{a} &= \exp\{a\log z\} \nonumber \\
&=\exp\{a(\log r+i(\theta+2n\pi))\} \nonumber \\
&= \exp\{a\log r\}\exp\{(\theta+2n\pi)ai\} \nonumber \\
&=r^{a}\exp\{ai\theta\}\exp\{2na\pi i\}\quad(n\mbox{は整数}) \nonumber \\
[&=r^{a}e^{ai\theta}e^{2na\pi i}]\nonumber
\end{align}
と多価関数になります. 式からわかるように, に多価性を与えているのはの部分です. しかし, が整数である場合には, は常にを満たすため, 厳密に言えば, 累乗関数が多価関数になるのは, が整数でない場合です.

累乗関数の主値

　多価性を持つ累乗関数にも主値があります. それは対数関数を主値に固定して,

累乗関数の主値
\begin{align}
z^{a} &= \exp\{a\mathrm{Log}\,z\} \nonumber \\
&= r^{a}e^{ia\theta} \nonumber
\end{align}

と定義されます.
　具体例としての値を求めましょう.
　は極形式でと表せるため, ここから
\begin{align}
(1+i)^{\frac{2}{3}} &= (\sqrt{2})^{\frac{2}{3}}e^{i\frac{\pi}{4} \frac{2}{3}}e^{\frac{4}{3}n\pi i} \nonumber \\
&= \sqrt[3]{2} e^{\frac{\pi}{6}}e^{\frac{4}{3}n\pi i} \nonumber \\
&= \sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)e^{\frac{4}{3}n\pi i} \nonumber
\end{align}
とわかります.

多価関数

　対数関数のように, 1つのに対してが複数の値を取る関数を多価関数といいます. はの取りうる値が無限に存在するので, 多価関数の中でも特に無限多価関数と呼びます. そもそも, 私達が最初に教わった写像の定義では, 多価関数は写像[関数]に含まれません. 私たちは写像の定義を次のように教わりました.

写像
集合の任意の元に対し, 集合の元がただ一つ定まっているとき, をからへの写像とよぶ.

　この定義に基づくと, 次の図のような集合の対応は《写像》とは呼べません.

これは写像ではない

これも写像ではない

上の2つの図のうち, 後半の図が多価関数の図になります.本来は多価関数は関数に含むことはできませんが, 写像の定義を拡張して, 多価関数も関数として認めているのです.多価関数に対して, 1つの値に1つの値が定まるような普通の関数のことを1価関数とよびます. 一般に1つの値に個の値が定まる関数は価関数とよびます. 多価関数を1価関数と同様に取り扱うための方法としてリーマン面が考案されました. リーマン面についても, 最後のほうで話しますね.