複素解析をざっとまとめるー12（複素関数の微分その2）

複素関数の微分

複素関数の微分

　複素関数の微分の定義は, 実関数の定義を形式的に複素数に置き換えたものになります.

複素微分の定義
　ある複素関数 $f(z)$ について, 複素数 $h$ の極限
\begin{align}
\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} \nonumber
\end{align}
が存在して一意に定まるとき, 複素微分可能であるという. またこの極限を関数 $f$ の複素微分係数と呼ぶ.

　実微分の復習のところで同様のことを言いましたが, 関数 $f(z)$ が微分可能というのは, $f(z)$ が局所的に $z$ の一次関数で近似できるということです. すなわち関数 $f(z)$ と $z$ の微小量をそれぞれ $\Delta f,\Delta z$ と書けば, $f(z)$ が微分可能ということは,
\begin{align}
\Delta f(z) = \mbox{(定数)}\Delta z \nonumber
\end{align}
と表せるということです. そしてこの定数のことを複素微分係数と呼んでいるのです. 当然, 定数には $z$ などの変数が含まれていてはダメです.
　これは実解析の定義を複素数に形式的に置き換えただけのように思えます. 全ての複素数は2つの実数と虚数単位で表せました. ということは, 全ての複素関数が2つの実数と虚数単位で表せるはずです. すなわち, $z = x+iy$ とすると, 全ての $f(z)$ が
\begin{align}
f(z) = u(x,y)+iv(x,y) \nonumber
\end{align}
の形で表せるということです. たとえば, 複素関数 $f(z) = z^{2}$ は,
\begin{align}
f(z) &= (x+iy)^{2} \nonumber \\
&= x^{2}-y^{2}+2xyi \nonumber
\end{align}
となります. この場合では $u(x,y) = x^{2}-y^{2},v(x,y) = 2xy$ というわけです. このように全ての複素関数が実2変数関数 $u(x,y),v(x,y)$ で表せるならば, 複素解析というのは実2変数解析と同じなのでしょうか？《 $f(z)$ が複素微分可能》ということは, 《 $u(x,y),v(x,y)$ がともに微分可能》ということなのでしょうか？答えはNOです.
　複素微分可能の定義では複素数 $h$ を $0$ に近づけた極限を用いています. しかしここでは《どのように近づくか》という《近づき方》までは定義されていません. つまり, 複素数 $h$ がどのように $0$ に近づいた場合でも極限が一意に定まるなら, その複素関数は複素微分可能ということになるのです. 複素平面上で考えると, 複素数 $h$ がどのように $0$ に近づいても, というのは直線的に近づいても, うねうね曲がった経路を進んでも, ということです. 螺旋階段のように, $0$ の周囲をぐるぐる回りながら徐々に近づくような近づき方でも大丈夫です.
　《どのように $0$ に近づいた場合でも》と聞くと強い条件に感じませんか？実際そうで, 複素微分可能の条件は実関数での微分可能よりも強い条件となっています. $u(x,y),v(x,y)$ の両方が実微分可能でも, $f(z)$ は複素微分可能とは限りません.
　では, 具体的に複素微分してみましょう.
例1： $f(z) = z^{2}$
　複素微分の定義より, $f(z)$ の微分は
\begin{align}
\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}&= \lim_{h\to 0} \frac{(z+h)^{2}-z^{2}}{h}\nonumber \\
&=\lim_{h\to 0}\frac{2z+h^{2}}{h} \nonumber \\
&= \lim_{h\to 0} (2z+h) \nonumber \\
&= 2z \nonumber
\end{align}
となります. これは予想通りですね.
例2： $f(z) = |z|^{2}$
　先ほどと同様に, 複素微分の定義より,
\begin{align}
\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}&=\lim_{h\to 0} \frac{(z+h)\overline{(z+h)}-z\overline{z}}{h}\nonumber \\
&= \lim_{h\to 0}\frac{z\overline{h}+h\overline{z}+h\overline{h}
}{h} \nonumber \\
&= \lim_{h\to 0}\left( z\cdot\frac{\overline{h}}{h}+\overline{z}+\overline{h}\right) \nonumber
\end{align}
ここで $h = re^{i\theta}$ とおくと, この極限は
\begin{align}
&\lim_{r\to 0}\left(z\cdot\frac{re^{-i\theta}}{re^{i\theta}}+\overline{z} +re^{-i\theta} \right) \nonumber \\
= &\lim_{r\to 0}(ze^{-2i\theta}+\overline{z}+re^{-i\theta}) \nonumber \\
=&ze^{-2i\theta}+\overline{z} \nonumber
\end{align}
　この極限は, $z$ のほかに独立な変数として $\theta$ を持ち, 一意には定まりません. よって $f(z)= |z|^{2}$ は複素微分不可能となります. しかし $z = x+iy$ とすると, 関数 $f(z) = |z|^{2}$ は,
\begin{align}
f(z) = x^{2}+y^{2} \nonumber
\end{align}
となります. これは, 実関数としては, 明らかに滑らかな関数です. この関数は複素微分可能の条件が実微分可能の条件よりも強いことを表すいい例です.
　では複素微分不可能な関数とは, どういう関数なのでしょうか？その疑問に対する答えとなるのが, 次に話すコーシー・リーマンの関係式です.

コーシー・リーマンの関係式

$z=x+iy$ として, 複素関数 $f(z) = f(x+iy)$ を
\begin{align}
f(z) = u(x,y)+iv(x,y) \nonumber
\end{align}
とします. ここで $z$ を $h =h_{1}+ih_{2}$ だけずらします. つまり, $x$ を $x+h_{1}$ , $y$ を $y+h_{2}$ にずらします. すると,
\begin{align}
f(z+h) &= f(x+iy+h_{1}+h_{2}) \nonumber \\
&= u(x+h_{1},y+h_{2})+iv(x+h_{2},y+h_{2}) \nonumber \\
&= u+\frac{\partial u}{\partial x}h_{1}+\frac{\partial u}{\partial y}h_{2}+i\left(v+\frac{\partial v}{\partial x}h_{1}+\frac{\partial v}{\partial y}h_{2} \right)+o(h_{1},h_{2}) \nonumber \\
&= u+iv+\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} \right)h_{1}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y} \right)h_{2}+o(h_{1},h_{2}) \nonumber \\
&= f(z)+\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} \right)h_{1}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y} \right)h_{2}+o(h_{1},h_{2}) \nonumber
\end{align}
となります.
ここで,
\begin{align}
\alpha &=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} \nonumber \\
\beta &=\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}
\nonumber
\end{align}
とおきます. すると, 複素微分の定義は
\begin{align}
\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\alpha h_{1}+\beta h_{2}}{h} \nonumber
\end{align}
となります. また $h_{1},h_{2}$ はそれぞれ複素数 $h$ の実部, 虚部なので,
\begin{align}
h_{1} &= \frac{h+\overline{h}}{2} \nonumber \\
h_{2} &= \frac{h-\overline{h}}{2i} \nonumber
\end{align}
です. これを用いてさらに複素微分の定義を書き換えると,
\begin{align}
\lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\left(\alpha\cdot\frac{h+\overline{h}}{2}+\beta\cdot \frac{h-\overline{h}}{2i} \right) \nonumber \\
=\lim_{h\to 0} \left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}\frac{\overline{h}}{h}+\frac{\beta}{2i}- \frac{\beta}{2i}\frac{\overline{h}}{h}\right) \nonumber \\
= \lim_{h\to 0}\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2i}+\left(\frac{\alpha}{2}- \frac{\beta}{2i}\right) \frac{\overline{h}}{h}\right) \nonumber
\end{align}
この $\dfrac{\overline{h}}{h}$ の項があると, 極限が一意に定まりません. つまり
\begin{align}
\left(\frac{\alpha}{2}- \frac{\beta}{2i}\right) = 0 \nonumber
\end{align}
ならば極限が一意に定まる, すなわち $f(z)$ が複素微分可能となるのです.
　この式に $\alpha,\beta$ を代入すると,
\begin{align}
\left(\frac{\partial u}{\partial x} +i\frac{\partial v}{\partial x}\right)+i\left( \frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right) = 0 \nonumber \\
\Leftrightarrow \quad \frac{\partial u}{\partial x} +i\frac{\partial v}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial y} = 0 \nonumber \\
\Leftrightarrow \left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right)+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0 \nonumber \\
\therefore \quad \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} =0 \quad \mbox{かつ}\quad \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \nonumber
\end{align}
これが複素関数 $f(x+iy) =u(x,y)+iv(x,y)$ が複素微分可能となる条件で, コーシー・リーマンの関係式というものです. 通常はCR関係式と表記することが多いですね.

コーシー・リーマン関係式
　複素関数
\begin{align}
f(z) &= f(x+iy) \nonumber \\
&= u(x,y)+iv(x,y) \nonumber
\end{align}
が複素微分可能であるための必要十分条件は,
\begin{align}
\quad \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} =0 \quad \mbox{かつ}\quad \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \nonumber
\end{align}
を満たすことである.

　個人的には, このコーシー・リーマンの関係式を学ぶことで, ようやく複素解析論の入り口に立てるのだと思っています. あなたもこれで深淵なる複素解析論の入り口に立つことができました. ようこそ.

複素微分可能の別表現

複素数 $z = x+iy$ に関する複素関数 $f(z)$ は, $f(x,y)$ と言えます. しかし, 複素共役を用いて実部と虚部がそれぞれ
\begin{align}
x &= \frac{z+\overline{z}}{2} \nonumber \\
y &= \frac{z-\overline{z}}{2i} \nonumber
\end{align}
と表せることを考えると, 複素関数 $f(z)$ は $f(z,\overline{z})$ とも書けます.
このことから, 関数 $f(z)$ の微小変化は全微分の形式で
\begin{align}
\Delta f = \frac{\partial f}{\partial z}\Delta z +\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\Delta \overline{z} \tag{1}
\end{align}
と表せます. しかし, 複素微分の一番最初のところで話した通り, $f(z)$ が複素微分可能ということは,
\begin{align}
\Delta f = \mbox{(定数)}\Delta z \nonumber
\end{align}
と表せる, すなわち $\Delta z$ の比例関数として書けるということでした. よって式(1)より,
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0 \nonumber
\end{align}
ならば, 関数 $f(z)$ は微分可能というわけです. $\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0$ ということは, $f(z,\overline{z})$ の式に $\overline{z}$ に関する項が存在しないということですから, 複素微分可能の条件は次のように言えます.

複素微分可能の条件
　複素関数 $f(z)$ が複素微分可能であるための必要十分条件は, $f(z)$ を独立変数 $z,\overline{z}$ で表したときに, $\overline{z}$ の項が存在しないことである.

$z,\overline{z}$ は独立変数と言えないのではないかと思いますか？大丈夫ですよ. 写像 $(x,y)\to(z,\overline{z})$ は, 全単射写像ですから.
　次のような公式は実解析と同様に成立します.

複素微分の基本公式
\begin{align}
(z^{n})' &=nz^{n-1} \tag{1}\\
(\sin z)' &= \cos z \tag{2}\\
(\cos z)' &=-\sin z \tag{3}\\
(e^{z})' &= e^{z} \tag{4}\\
(\alpha^{z})' &=\alpha^{z}\log (\alpha)\quad (\alpha \neq 0) \tag{5}\\
(\log z)' &= \frac{1}{z}\quad (z\neq 0) \tag{6}\\
(\log f(z))' &= \frac{f'(z)}{f(z)}\quad (f(z)\neq 0)\tag{7}
\end{align}