複素解析をざっとまとめるー21（第4章の章末問題）

目次

章末問題

(1)曲線\(C\)を含む領域において\(f(z)\)は連続であり, \(C\)上で\(|f(z)|\le M\)とします. 曲線\(C\)の長さを\(l\)とすれば, 次の不等式が成立することを証明してください.
\begin{align}
\left| \int_{C}f(z)dz \right| \le \int_{C} |f(z)||dz|\le Ml \nonumber
\end{align}

(2)次の関数の積分値を求めてください.ただし積分路は円\(C:|z| = 2\)上を正の方向に1周するものとします.
(a)\(\displaystyle \frac{4z^{2} - z + 3}{(z - 1)^{3} }\)
(b)\(\displaystyle \frac{1}{z^{2} (z-1)}\)

(3)\(C\)は\(z = 1,z=2\)を内部に含む単純閉曲線とします. このとき, 次の積分値を求めてください.
\begin{align}
\int_{C} \frac{\sin (\pi z^{2}) + \cos (\pi z^{2} )}{(z-1)(z-2)}dz \nonumber
\end{align}