複素解析をざっとまとめるー11（複素関数の微分その1）

複素関数の微分
- 実関数の微分の復習

複素関数の微分

　さて, いよいよ複素関数の微分・積分です. 最初に微分の話からしますが, 微分はすぐに終わります. 実関数の復習からいきましょう.

実関数の微分の復習

微分

　実関数での微分の定義は次のようなものでした.

実関数の微分
　関数 $f(x)$ について, 極限
\begin{align}
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \nonumber
\end{align}
が存在し一意に定まるとき, 関数 $f(x)$ は微分可能という. またこの極限を微分係数といい, 記号 $\dfrac{d}{dx}\,f(x)$ や $f'(x)$ で表す.

　微分可能というのは, 関数を局所的に一次関数で近似できるということです. この《局所的》ということばを, 数学では《微小》というのでした. すなわち, 関数 $f(x)$ が点 $x=x_{0}$ で微分可能なとき,
\begin{align}
f(x+h) = f(x)+\frac{d}{dx}\,f(x)h+o(h) \nonumber
\end{align}
となります. ただし, $o(h)$ は $h\to 0$ とすると $0$ になる項です.

偏微分

　偏微分の復習もしましょう. 変数が複数ある関数に対し, ある1つの変数に注目してそれ以外の変数は全て定数項とみなして微分することを偏微分といいます. たとえば, 2変数関数 $f(x,y)$ を $x$ について偏微分することを, 記号では $\dfrac{\partial }{\partial x}\,f(x,y)$ や $f_{x}$ と書きます.
　偏微分の場合, どの変数に注目して微分するかによって当然ながら計算結果が変わります. 関数 $f(x,y)$ を $x$ について偏微分した場合と $y$ について偏微分した場合では結果が違うということです.
　 $f(x,y)$ が変数 $x,y$ について偏微分可能なとき, $x,y$ を微小に変化させると, それぞれ次の式が成立します.
\begin{align}
f(x+\Delta x,y) &= f(x,y)+\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\Delta x \nonumber \\
f(x,y+\Delta y) &= f(x,y)+\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)\Delta y \nonumber
\end{align}
ただし $\Delta x, \Delta y$ はそれぞれ, 変数 $x,y$ の微小量です. $\Delta$ は慣習的に, 微小量を表す記号です. しかし, 無限小ではありません.

全微分

　多変数の関数について, 全ての変数を微小に変化させたものの変化の度合いを全微分といいます. たとえば, 2変数関数 $f(x,y)$ が $x,y$ で偏微分可能であるとすると, 全ての変数を微小に変化させたときの変化の度合いとは, $f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ のことです. これはまず $x$ を $\Delta x$ だけ変化させ, そのあと $y$ を $\Delta y$ だけ変化させたものなので, $f(x+\Delta x,y)$ の $y$ に $y+\Delta y$ を代入することで,
\begin{align}
f(x+\Delta x,y+\Delta y) &= f(x,y+\Delta y) + \frac{\partial }{\partial x}f(x,y+\Delta y)\Delta x \nonumber \\
&=f(x,y)+\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)\Delta y+\left\{\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)+\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\right)\Delta y\right\}\Delta x \nonumber
\end{align}
となります. ここで $\Delta x\Delta y$ は微小量同士の積なので無視できるほど十分小さく,
\begin{align}
f(x+\Delta x,y+\Delta y) = f(x,y) +\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\Delta x+\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)\Delta y \nonumber
\end{align}
となります. $f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y)$ を $\Delta f$ と表すと, 上式は次のようになります.
\begin{align}
\Delta f = \frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\Delta x+\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)\Delta y \nonumber
\end{align}
　ここで, 微小量を表す $\Delta$ を, 無限小を表す $d$ に置き換えます. すると上式は,
\begin{align}
d f = \frac{\partial }{\partial x}f(x,y)d x+\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)d y \nonumber
\end{align}
　これが, 関数 $f(x,y)$ の全微分です.