シグマの構成
(|u(x)| le N)をみたす全ての(uin L^{1}(mathbb{R}^{n}))と(orall arepsilon > 0)に対し,
egin{align}
exists,vin C_{0}(mathbb{R}^{n})quad { m s.t.}quad onumber \
|u-v|_{L^{1}} < arepsilon quad mbox{かつ}quad |v(x)|le N onumber
end{align}
が成立する. ただし簡単のため, (u)は実数値とする.
Def
(Omega):空でない集合, (mathscr{F}subset mathfrak{P}(Omega))とする. このとき, (mathscr{F})がシグマ-集合体であるとは, (mathscr{F})が以下の3条件を満たすことである.
(1)(emptysetin mathscr{F})
(2)(Ain mathscr{F}Rightarrow A^{c}in mathscr{F})
(3)({A_{i}}^{infty}_{i = 1}subset mathscr{F}Rightarrow igcup ^{infty}_{i = 1}A_{i}in mathscr{F})
ただしある集合(A)の補集合を(A^{c})と表現している.
Def
(-infty < a_{1} < b_{i} < infty quad (i = 1,2cdots ,n))とする. このとき,
egin{align}
R = [a_{1},b_{1}) imes cdots imes [a_{n},b_{n}) onumber
end{align}
を基本長方形といい, この(R)について
egin{align}
|R| := (b_{1}-a_{a})cdots (b_{n}-a_{n}) onumber
end{align}
と定める. ({Q_{i}}^{infty}_{i = 1}:orall iin mathbb{N}, Q_{1})は基本長方形という族をタイル列という.
Def
(Asubset mathbb{R}^{n})とする. 以下のように定義する.
egin{align}
m^{ast}(A) &:= left.inf left{sum^{}_{i}|Q_{i},| ight|, {Q_{i}}:mbox{タイル列}, Asubset igcup^{infty}_{i = 1}Q_{i} ight} onumber \
m_{ast}(A) & := sup {m_{ast}(K), |, Ksubset A,K:mbox{コンパクト}} onumber \
mathfrak{m}^{ast} &:= {Asubset mathbb{R}^{n},|, m^{ast}(A)<infty,m_{ast}(A)= m^{ast}(A) } onumber
end{align}
Def
(Nin mathbb{N})に対し,
egin{align}
overline{Q_{N}} := [-N.N] imes cdots imes [-N,N] onumber
end{align}
と定義する. (Asubset mathbb{R}^{n})がLebesgue可測であるとは, 次を満たすことである.
egin{align}
Acap overline{Q_{N}} in mathfrak{m}^{ast} onumber
end{align}
さらに, (mathfrak{m} = {Asubset mathbb{R}^{n}, | , A:mbox{Lebesgue可測}})とすると, Lebesgue測度mとは次のような写像である.
egin{align}
m:mathfrak{m} o [0,infty]:Amapsto mathfrak{m}^{ast} (A) onumber
end{align}
(mathbb{Q},mathbb{R}^{n})は通常のEuclidの距離で位相空間と見なす.
FACT
*1:可測空間. (m):Lebesgue測度は次を満たす.
(1)(m(emptyset) = 0)
(2) ({A_{i}}_{i=1}subset mathfrak{m})かつ(A_{i}cap A_{j} = emptysetquad (orall i.orall j;i eq j))ならば, egin{align}
mleft( igcup ^{infty}_{i =1} A_{i} ight) = sum^{infty}_{i = 1} m(A_{i}) onumber
end{align}
*1:mathbb{R}^{n},mathfrak{m}
