Kiri's diary

きりねこNote

数学関連のことについてよく書きます

第9回 関数解析ゼミ(2018年6月27日)

 2.5の証明の前に必要となるLecesgue積分の性質をいくつか. Lebesgue積分のゼミではないので, Lebesgue積分論について基本から段階的に解説していくことはしない. 数学的性質ないしは主張を列挙するに留める.

1. 零集合
(mu)をLebesgue測度とする. (Esubset mathbb{R}^{n})が, (mu (E) = 0)となるとき, (E)を零集合という.

 

2. ほとんど到るところ
ある命題が, 零集合を除いて成立するとき, その命題はほとんど到るところで成立するという. almost everywhereの頭文字をとり記号で, ( ({ m a.e.}))と表す. たとえば, (mathbb{R}^{n})上で定義された2つの関数(u(x),v(x))が, (mathbb{R}^{n})上の零集合(E)を除いて(u(x) = v(x))となる場合,
egin{align}
u(x) = v(x)quad ({ m a.e.}) onumber
end{align}
と表現する.

 

3. Lebesgueの収束定理
(mathscr{L})を(mathbb{R}^{n})上のLebesgue可積分全体の集合とする. (u_{k}in mathscr{L}, (k = 1,2,cdots))が次の(1), (2)を満たすとする.
(1)(displaystyle lim_{k o infty}u_{k}(x) = u(x)quad ({ m a.e.}))
(2)(k)に依存しない関数(fin mathscr{L})が存在して, (|u_{k}(x)|le f(x)quad ({ m a.e.}))
このとき, 次が成立.
egin{align}
lim_{k o infty}int^{}_{mathbb{R}^{n}} u_{k}(x)dx = int^{}_{mathbb{R}^{n}}lim_{k o infty} u_{k}(x)dx =int^{}_{mathbb{R}^{n}}u_{k}(x)dx onumber
end{align}

 

4. 単調収束定理
(0le u_{1}(x) le u_{2}(x) le cdots,u_{k}in mathscr{L})とし, (displaystyle int^{}_{mathbb{R}^{n}}u_{k}(x)dx le M)であると仮定する. このとき
egin{align}
u(x) := lim_{k o infty}u_{k}(x) < infty quad ({ m a.e.}) onumber
end{align}
であり, (uin mathscr{L}), かつ, Lebesgueの収束定理を満たす.

pf of Th 2.5

(orall {u_{k}}subset L^{1}(Omega))を(displaystyle A = sum^{infty}_{k=1} |u_{k+1} - u_{k}|_{L^{1}} < infty )なるものをとる. (displaystyle v_{N}(x) = |u_{1}(x)| + sum^{N-1}_{k = 1} |u_{k+1}(x) - u_{k}(x)|)とする. (displaystyle v(x) = lim_{N o infty}v_{N}(x) le infty)と定めると, ({v_{N}})は非負値関数の増加列で,
egin{align}
int^{}_{Omega} v_{N}(x)dx = |v_{N}|_{L^{1}} &le |v_{N}|_{L^{1}} + sum^{N-1}_{k = 1} |u_{k+1}(x) - u_{k}(x) |_{L^{1}} onumber \
&le |u_{1}|_{L^{1}} + A < infty onumber
end{align}
. 単調収束定理より, (v(x) < infty quad ({ m a.e.}))であり, (vin L^{1}(Omega)). (v(x) < infty)なる(xin Omega)について, (displaystyle sum^{infty}_{k = 1} |u_{k+1}(x) - u_{k}(x)| < infty).
egin{align}
u(x) = lim_{N o infty} u_{N}(x) = u_{1}(x) + sum^{infty}_{k = 1} (u_{k+1}(x) - u_{k}(x)) onumber
end{align}
が存在する. また, (|u_{N}(x)| le v (x)). (三角不等式)
(|u(x)| le v(x))より(u in L^{1} (Omega)). また, (u_{N}(x) - u(x) o 0quad ({ m a.e.}))で, (|u_{N}(x) - u(x)|le 2v(x))で(2vin L^{1}(Omega)). Lebesgueの収束定理より, (|u_{N} - u|_{L^{1}} o 0quad (N o infty)) (Q.E.D.)

2.4 (L^{p}(Omega))
(pin mathbb{R}、1le p < infty) とする。
egin{align}
mathscr{L}^{p}(Omega) = left{u:Omega o mathbb{C};(mbox{可測}), | , left( int^{}_{Omega} |u(x)|^{p} dx ight)^{1/p} ight} onumber
end{align}
(|u|_{L^{p}})とおく。

Th 2.8 Hölderの不等式
(1 < p < infty, displaystyle rac{1}{p} + rac{1}{q} = 1)について、(uin mathscr{L}^{p}(Omega), vin mathscr{L}^{1}(Omega))ならば、(uvin mathscr{L}^{1}(Omega))かつ
egin{align}
left| int^{}_{Omega}u(x)v(x) dx ight| &le left( int^{}_{Omega}|u(x)|^{p} dx ight)^{1/p} left( int^{}_{Omega} |v(x)|^{q} dx ight)^{1/q} onumber \
&= |u|_{L^{p}} |v|_{L^{q}} onumber
end{align}

pf

(a,b > 0)について, (ab le p^{-1} a^{p} + q^{-1} b^{q})である. まず(|u|_{L^{p}} = 0)または(|v|_{L^{q}} = 0)のとき成立するので, (|u|_{L^{p}} eq 0)かつ(|v|_{L^{q}} eq 0)とする.
egin{align}
rac{1}{|u|_{L^{p}}|v|_{L^{q}}}left| int^{}_{Omega}u(x)v(x) dx ight| le rac{1}{|u|_{L^{p}}|v|_{L^{q}}}int^{}_{Omega}|u(x)||v(x)| dx onumber \
= int^{}_{Omega}rac{|u(x)|}{|u|_{L^{p}}}cdot rac{|v(x)|}{|v|_{L^{q}}} dx le int^{}_{Omega} left{ rac{1}{p}rac{|u(x)|^{p}}{|u|^{p}_{L^{p}}} + rac{1}{q} rac{|v(x)|^{q}}{|v|^{q}_{L^{q}}} ight}dx onumber \
= rac{1}{p}rac{1}{|u|^{p}_{L^{p}}} int^{}_{Omega} |u(x)|^{p} dx + rac{1}{q} rac{1}{|v|^{q}_{L^{q}}} int^{}_{Omega}|v(x)|^{q} dx = 1 onumber
end{align}
(Q.E.D.)

Th 2.9 Minkowskiの不等式
(u,vin mathscr{L}^{p}(Omega), 1le p < infty)ならば, (u + v in mathscr{L}^{p}(Omega))かつ,
egin{align}
left( int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{p}dx ight)^{1/p} le left( int^{}_{Omega}|u(x) |^{p}dx ight)^{1/p} + left( int^{}_{Omega}|v(x) |^{p}dx ight)^{1/p} onumber
end{align}
が成立する.


pf
(p = 1)は明らかに成立. (1 < p < infty)のとき, (p^{-1} + q^{-1} = 1)なる(q)をとる.
egin{align}
|u(x) + v(x)|^{p} &le (|u(x)| + |v(x)|)^{p} onumber \
&le 2^{p} max {|u(x)|, |v(x)|}^{p} onumber \
&le 2^{p} {|u(x)|^{p} + |v(x)|^{p}} onumber
end{align}
より, (u + v in mathscr{L}^{p}(Omega)). また,
egin{align}
int^{}_{Omega} |u(x) + v(x)|^{p} dx = int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{p-1}|u(x) + v(x)| onumber \
le int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{p-1}|u(x)| dx +int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{p-1}|v(x)| dx onumber \
le left( int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{q(p-1)} dx ight)^{1/q} left(int^{}_{Omega}|u(x)|^{p} dx ight)^{1/p} onumber \
+ left( int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{q(p-1)} dx ight)^{1/q} left(int^{}_{Omega}|v(x)|^{p} dx ight)^{1/p} onumber \
= left(int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{p} dx ight)^{1-1/p}(|u|_{L^{p}} + |v|_{L^{p}}) onumber
end{align}
(Q.E.D.)

(mathscr{L}^{p}(Omega))上の同値関係(sim)を
egin{align}
usim vquad overset{mathrm{def}}{Leftrightarrow}quad u = vquad ({ m a.e.}) onumber
end{align}
で定め,
egin{align}
L^{p}(Omega) = mathscr{L}^{p}(Omega)/sim onumber
end{align}
とおく.
Th 2.9などから, *1はノルム空間になる.

Th 2.10
(L^{p}(Omega))はBanach空間である.

 

Th 2.11
(L^{2}(Omega))は, *2について, (|u_{k} - u|_{L^{p}} o 0quad (k o infty))ならば,
egin{align}
exists,{u_{k(l)}}subset {u_{k}}:mbox{部分列}quad { m s.t.}quad onumber \
lim_{l o infty}u_{k(l)}(x) = u(x) quad ({ m a.e.}) onumber
end{align}

 

Ex 2.14
(|Omega| < infty)であり, (p_{1} < p_{2})ならば,
egin{align}
L^{p_{2}}(Omega) < L^{p_{1}}(Omega) quad (mbox{かつ}) onumber \
|u|_{L^{p1}(Omega)} le |Omega|^{(p_{2}-p_{1})/p_{1}p_{2}} |u|_{L^{p2}(Omega)} onumber
end{align}

Th 2.15
(orall u in L^{1}(mathbb{R}^{n}), orall arepsilon > 0)について
egin{align}
exists,vin C_{0}(mathbb{R}^{n})quad { m s.t.}quad onumber \
int^{}_{mathbb{R}^{n}}|u(x) - v(x)|dx < arepsilon onumber
end{align}

 

Cor 2.16
(1le p < infty )ならば, (C_{0}(mathbb{R}^{n}))は(L^{p}(mathbb{R}^{n}))で稠密.

pf
(uin L^{p}(mathbb{R}^{n}), arepsilon > 0 )をとる. 各(N = 1,2,cdots)に対し,
egin{align}
Omega _{N} = left{xin mathbb{R}^{n}, | , |x| le N quad { m and}quad |u(x)|le N ight} onumber
end{align}
とする. (u_{N} = chi_{Omega N},u)とすると, (u_{N}(x) o u(x)quad ({ m a.e.}))であって, (|u(x)- u_{N}(x)|^{p}le |u(x)|^{p})より, Lebesgueの収束定理から, (|u - u_{N}|_{L^{p}} o 0)となる*3. Th 2.15より,
egin{align}
exists,v' in C_{0}(mathbb{R}^{n})quad { m s.t.}quad onumber \
|u_{N}- v'|_{L^{1}}le left( rac{arepsilon}{2} ight)^{p}(2N)^{1-p} onumber
end{align}
ここで,
egin{align}
v(x) =
egin{cases}
v'(x) &(|v'(x)| le N) \
Nv'(x)/|v'(x)| & (|v'(x)| ge N)
end{cases}
onumber
end{align}
とすれば, (|v(x)|le N,vin C_{0}(mathbb{R}^{n}))で, (|u_{N}-v|_{L^{1}}le |u_{N} - v'|_{L^{1}})
(Q.E.D.)

*1:L^{1}(Omega),||_{L^{p}}

*2:u,v) = int^{}_{Omega}u(x)overline{v(x)}dx)を内積としてHilbert空間である.

 

Th 2.13
({u_{k}}subset L^{p}(Omega), uin L^{p}(Omega

*3:chi_{Omega N})は集合(Omega _{N})の定義関数である). ゆえに, (exists,Nin mathbb{N}quad { m s.t.}quad |u - u_{N}|_{L^{p}} < arepsilon/2 )たる(N)がとれる. また, (|u_{N}(x)|le N)であって, ({xin mathbb{R}^{n} , | , u_{N}(x) eq 0}subset Omega _{N});(Omega _{N})は測度有限集合であるから, (u_{N}in L^{1}(mathbb{R}^{n}