第8回　関数解析ゼミ(2018年6月20日)

関数の台
$u \in C(\Omega)$ とする.
\begin{align}
K_{u} = \{x\in \Omega\, | \, u(x)\neq 0\} \nonumber
\end{align}
の $\Omega$ における閉包を $u$ の台(support)といい, ${\rm supp}\, u$ と表す. $u\in C(\Omega)$ で ${\rm supp}\,u$ が $\Omega$ のコンパクト集合であるもの全体を $C_{0}(\Omega)$ と表す.

2.3 $L^{1}(\Omega)$
$\Omega$ を $\mathbb{R}^{n}$ の可測集合とし, $| \Omega | \gt 0$ とする. $\Omega$ 上の可積分関数全体の集合を $\mathscr{L}^{1}(\Omega)$ と表す. $\mathscr{L}^{1}(\Omega)$ は線形空間である.
$\mathscr{L}^{1}(\Omega)$ 上のノルムを
\begin{align}
\|u\| = \|u\|_{\mathscr{L}^{1}} = \int^{}_{\Omega}|u(x)|dx \quad (u\in \mathscr{L}^{1}(\Omega)) \nonumber
\end{align}
と定義する.
$\mathscr{L}^{1}(\Omega)$ において, $u = v({\rm a.e.})$ であるものとみなすことによりできる空間を $L^{1}(\Omega)$ と表す. $L^{1}(\Omega)$ はノルム空間になる. $(L^{1}(\Omega)$ は $u = v({\rm a.e.})$ ならば, $u \sim v$ という $\mathscr{L}^{1}(\Omega)$ 上の同値関係で $\mathscr{L}^{1}(\Omega)$ の元を類別したときの同値類全体の集合である.

Th 2.5
$L^{1}(\Omega)$ はBanach空間である.

Lem 2.6
$\mathscr{X}$ :ノルム空間とする. 次の(1),(2)は同値な命題.
(1) $\mathscr{X}$ は完備
(2) $\{u_{k}\}_{k = 1,2,\cdots}$ :任意の $\mathscr{X}$ の点列について $\displaystyle \sum^{\infty}_{k = 1}\|u_{k+1}-u_{k}\| \lt \infty$ ならば, $\{u_{k}\}$ は $\mathscr{X}$ で収束する

pf of Lem 2.6
$(2)\to (1)$
$\{v_{l}\}$ : $\mathscr{X}$ のCauchy列とし, その部分列 $\{v_{l}(k)\}=\{u_{k}\}$ をとる.
自然数 $N(k)$ を $l,m \gt N(k)\Rightarrow \|v_{l}-v_{m}\| \lt (1/2)^{k}$ となるようにとり, 次に $l(k) \gt N(k)$ を $l(1) \lt l(2)\lt\cdots$ となるように選ぶ. すると $\|u_{k+1}-u_{k}\| = \|v_{l(k+1)}-v_{l(k)}\|\lt(1/2)^{k}$ となり $\displaystyle \sum^{\infty}_{k=1}\|u_{k+1}-u_{k}\|\lt\infty$ である. 部分列 $\{v_{l(k)}\} = \{u_{k}\}$ は, $u\in \mathscr{X}$ に収束する. ここで一般にCauchy列 $\{u_{l}\}$ の部分列が $u$ に収束するなら $\{v_{l}\}$ 自身も $u$ に収束する. よって, この場合も $\{v_{l}\}$ は $\mathscr{X}$ 内に収束する.
$(\because)$ $\{u_{l}\}$ :Cauchy列とする. $\forall \varepsilon \gt 0,\exists\, N \in \mathbb{N},d , m \gt N\Rightarrow \|v_{l}-v_{m}\|\lt\varepsilon/2$ を満たす. 部分列 $\{v_{l(k)}\}$ が $u$ に収束するなら $K\in \mathbb{N}$ を $l(K) \gt N$ かつ $\|v_{l(k)}-u\|\gt\varepsilon/2$ となるようにとれる. すると $m \gt N$ に対して,
\begin{align}
\|v_{m}-u\| &\leq \|v_{m}-v_{l(k)}\| + \|v_{l(k)}-v\| \nonumber \\
&< \varepsilon/2 +\varepsilon/2 = \varepsilon \nonumber
\end{align}
となり, $\{v_{m}\}$ も $u$ に収束する. (Q.E.D.)

$(2)\to (1)$
\begin{align}
\sum^{\infty}_{k = 1}\|u_{k+1}-u_{k}\| \lt \infty \nonumber
\end{align}
を満たす点列 $\{u_{k}\}$ は明らかにCauchy列. 全てのCauchy列が収束列であることは完備性の定義そのもの. (Q.E.D.)

きりねこNote

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