Review
\(A\):環, \(\mathfrak{p}\):イデアルとする. このとき, 次の(1),(2)は同値な命題.
(1)\(\mathfrak{p}\)は素イデアル
(2)\(A/\mathfrak{p}\)は整域
Prop 1.7.3
\(A\):環, \(\mathfrak{m}\):イデアルとする. このとき, 次の(1),(2)は同値な命題.
(1)\(\mathfrak{m}\)は極大イデアル
(2)\(A/\mathfrak{m}\)は体
Review終
ここで体ならば整域なので, 次の系が導かれる.
Prop 1.7.5
\(\phi:A\to B\):環準同型, \(\mathfrak{q}\subset B\):素イデアル, \(\mathfrak{p} = \phi^{-1}(\mathfrak{q})\)とする. このとき, 次の(1),(2)が成立する.
(1)\(A/\mathfrak{p}\)は\(B/\mathfrak{q}\)の部分環
(2)\(\mathfrak{p} = \phi^{-1}(\mathfrak{q})\)は素イデアル
pf
(1)\(\pi:B\to B/\mathfrak{q}\)を自然な準同型とすると, \(\pi\circ \phi:A\to B/\mathfrak{q}\)の核は,
\begin{align}
\phi^{-1}(\ker (\pi)) = \phi^{-1}(\mathfrak{q}) = \mathfrak{p} \nonumber
\end{align}
環の準同型定理より, \(A/\mathfrak{p}\cong {\rm Im}(\pi \circ \phi)\subset B/\mathfrak{q}\)
(Q.E.D.)
(2)\(\mathfrak{q}\)が素イデアルより, \(B/\mathfrak{q}\)は整域. Prop 1.3.8: 整域の部分環っは整域, より, \(A/\mathfrak{p}\)も整域. よって\(\mathfrak{p}\)は素イデアル.
(Q.E.D.)
Prop 1.7.6
\(A\):環, \(\mathfrak{p}\subset A\):素イデアルとする. \(A\)上の\(n\)変数多項式\(A[x] = A[x_{1},\cdots,x_{n}]\)について, \(\mathfrak{p}A[x]\)は\(A[x]\)の素イデアルであり,
\begin{align}
A[x]/\mathfrak{p}A[x] \cong (A/\mathfrak{p})[x] \nonumber
\end{align}
が成立する.
pf
Prop 1.4.12より,
\begin{align}
A[x]/\mathfrak{p}A[x] \cong (A/\mathfrak{p})[x] \nonumber
\end{align}
である. \(A/\mathfrak{p}\)は明らかに整域であるから, Cor1.2.23より, \(A/\mathfrak{p}[x]\)も整域. よって\(A[x]/\mathfrak{p}A[x]\)も整域. よって\(\mathfrak{p}A[x]\)が素イデアル.
(Q.E.D.)
Prop 1.7.11
\(A\):環, \(\mathfrak{p}\subset A\):素イデアル, \(I_{1},\cdots,I_{n}\subset A\):イデアルとする. このとき,
\begin{align}
\bigcap^{n}_{k = 1} I_{k}\subset \mathfrak{p}\Rightarrow \exists\,m(1\le m\le n)\{I_{m}\subset \mathfrak{p}\} \nonumber
\end{align}
が成立する.
証明は簡単すぎるので略.
Prop 1.7.12
\(I\subset \mathfrak{p}\):\(A\)のイデアル. このとき, 次の(1),(2)は同値な命題.
(1)\(\mathfrak{p}\)は\(A\)の素イデアル
(2)\(\mathfrak{p}/I\)が\(A/I\)の素イデアル
pf
\( (A/I)(\mathfrak{p}/I)\cong A/\mathfrak{p}\)を考えれば分かる.
Th 1.7.13 代数学の基本定理
\(n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\)\(, a_{1},\cdots,a_{n}\in \mathbb{C}\), \(f(x) = x^{n} + a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n}\in \mathbb{C}[x]\)に対し, \(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}\in\mathbb{C}\)が存在し, \(f(x) = (x-\alpha_{1})\cdots(x-\alpha_{n})\)となる.
Prop 1.7.15
\(A\):環, \(I\subsetneq A\):イデアルとする. このとき\(I\)を含む\(A\)の極大イデアルが存在する. 特に\(a\in A\)が単元でないなら, \(a\)を含む極大イデアルが存在する.
pf
\(X\)を, \(I\)を含む\(A\)のイデアルで\(A\)自身でないもの全体の集合とする. \(X\)上の任意の2元に対し, 順序関係を\(J_{1}\subset J_{2}\Leftrightarrow J_{1}\le J_{2}\)と定義する. \(X\)がZornの補題の条件を満たすことを示す. すなわち, \(X\)の任意の元\(x\)に対して, 極大元\(\overline{x}\)が存在して, \(x\le \overline{x}\)となることを示す. 一応, Zornの補題を載せておく.
順序集合は, 任意の全順序部分集合\(A\subset X\)が上に有界のとき帰納的順序集合という.
Th Zornの補題
\(X\)を帰納的順序集合とする. このとき任意の元\(x\in X\)に対し, \(X\)の極大元\(\overline{x}\)であって, \(x\le \overline{x}\)となるものが存在する.
\(Y\subset X\)を全順序部分集合とする. \(J_{0} = \bigcup_{J\in Y}J\)とおく. \(x,y\in J_{0}\)なら\(x\in J_{1},y\in J_{2}\)となる\(J_{1},J_{2}\in Y\)が存在するが, 仮定より, \(J_{1}\subset J_{2}\)または, \(J_{2}\subset J_{1}\)の一方が成立する. よって\(x,y\in J_{1}\)または\(x,y\in J_{2}\)である. ここで\(J_{1},J_{2}\)はイデアルなので, \(x\pm y\in (J_{1}\)または\(J_{2}\))となる. 同様の理由で, \(a\in A,x\in J_{0}\)なら, \(ax\in J_{0}\)となり, \(J_{0}\)が\(A\)のイデアルだと分かった. \(I\subset J_{0}\)は明らか, ここでもし\(J_{0}=A\)ならば\(1\)を含むイデアル\(J\in Y\)が存在して\(J=A\)となってしまい矛盾である. よって\(J_{0}\in X\). 任意の\(J\in Y\)に対して\(J\le J_{0}\)が成立する, すなわち, \(X\)の任意の全順序部分集合は\(X\)に上界をもつ. Zornの補題により\(X\)は極大元\(J\)をもつ. よって\(J\)は極大イデアルである.
もし, \(a\)が単元でないなら, \(I = (a) \neq A\)であるため, \((a)\)を含む極大イデアルが存在する. \(a\)がその極大イデアルに属することは明らかである.
(Q.E.D.)
