複素解析をざっとまとめるー20（複素関数の積分その５）

留数定理

留数定理

　留数定理について話しましょう. 留数定理というのは, 「留数」という数を使って, 積分値が求められるよ！という定理です.
　私たちが求めたい積分は, 関数 $f(z)$ が定義されている領域 $D$ 内に, 特異点が存在する場合のものです. だってすべてで正則な領域だったらコーシーの積分定理から, すぐに積分値が $0$ だとわかってしまいますからね.
　ではまず「留数」について話しましょう. 「留数」を理解するには, 「ローラン展開」を理解しなければいけません. 「ローラン展開」とは「テイラー展開」の一般化です. いきましょう.

テイラー展開

　複素関数 $f(z)$ についても, 実関数のときと同様にテイラー展開が定義できます. ただし, その場合には $f(z)$ が領域 $D$ の全体で正則である必要があります.
　この条件さえ満たせば, あとは実関数の場合のテイラー展開と同様です.

テイラー展開・マクローリン展開
　領域 $D$ を $a$ を中心とする半径 $R$ の円 $(|z-a|=R)$ の周および内部とする. 複素関数 $f(z)$ が $D$ の点全体で正則であるとき, $D$ 内の任意の点 $z\in D$
について, 関数 $f(z)$ は次のように級数展開できる.
\begin{align}
f(z) &= f(a) + \frac{f^{(1)}(a)}{1!}(z-a)^{1}+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(z-a)^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^{n}+\cdots \nonumber \\
&= \sum^{\infty}_{n = 0}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^{n} \nonumber
\end{align}
この級数展開を点 $a$ まわりのテイラー展開という.
　また, 点 $a = 0$ まわりのテイラー展開を特別にマクローリン展開という.
\begin{align}
f(z) &= f(0)+\frac{f^{(1)}(0)}{1!}z^{1}+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}z^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^{n}+\cdots \nonumber \\
&= \sum^{\infty}_{n = 0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^{n} \nonumber
\end{align}

　テイラー展開が成立する証明は第5章にまわします. このように正則関数がベキ級数に展開できるという性質を正則関数の解析性とよびます.
　有名な関数のマクローリン展開を示しておきます.
\begin{align}
\frac{1}{1-z} &= 1 + z^{1} + z^{2} + \cdots + z^{n} + \cdots \quad ( |z |< 1) \tag{1} \\
e^{z} &= 1 + \frac{z^{1}}{1 !} + \frac{z^{2}}{2 !} + \cdots + \frac{z^{n}}{n!} + \cdots \tag{2} \\
\mathrm{Log}\, (1 + z) &= \frac{z^{1}}{1} - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} + \cdots + \frac{( -1 )^{n-1}}{n} z^{n} + \cdots \tag{3} \\
\cos z &= 1 - \frac{z^{2}}{2 !} + \frac{z^{4}}{4 !} - \cdots + \frac{(-1)^{m}}{(2m) !} z^{2m} + \cdots \tag{4} \\
\sin z &= z^{1} - \frac{z^{3}}{3 !} + \frac{z^{5}} {5 !} - \cdots + \frac{(-1)^{ m - 1 } } {(2m-1) ! } z^{2m-1} + \cdots \tag{5}
\end{align}
(1)は幾何級数と呼ばれる級数展開です.

ローラン展開

　テイラー展開は正則な点の周りで関数を展開するものでした. これに対し, ローラン展開は特異点の周りでも関数を展開できるようになったものです.

ローラン展開
　領域 $D$ を $C_{1}:|z-a| = r_{1},C_{2}:|z-a| = r_{2}$ $(r_{1}\gt r_{2})$ の間の円環領域とする. すなわち,
\begin{align}
D:r_{1} \le |z-a| \le r_{2} \nonumber
\end{align}
である. 関数 $f(z)$ は領域 $D$ 上で正則な1価関数とする. $f(z)$ は点 $a$ で正則であってもなくても構わない.
　領域 $D$ 内にある, 点 $a$ を囲む任意の単純閉曲線を $C$ とすると, 領域 $D$ 内の点 $z$ について, $f(z)$ は次式のような級数に展開できる.
\begin{align}
f(z) = &\cdots + \frac{a_{n}}{(z-a)^{n}} + \cdots + \frac{a_{2}}{(z-a)^{2}}+ \frac{a_{1}}{(z-a)^{1}} \nonumber \\
& + b_{1}(z-a)^{0} + b_{2}(z-a)^{1}+\cdots +b_{n}(z-a)^{n}+\cdots \nonumber \\
= &\sum^{\infty}_{k = 1}a_{k}\frac{1}{(z-a)^{k}} + \sum^{\infty}_{k = 0}b_{k}(z-a)^{k} \tag{1}
\end{align}
ただし, $a_{k},b_{k}$ はそれぞれ
\begin{align}
a_{k} &= \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}f(z)(z -a)^{ k - 1 }dz \nonumber \\
b_{k} &= \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z -a)^{ k + 1 } }dz \nonumber
\end{align}
で定義される. 積分路は単純閉曲線 $C$ に正の向きをつけたものとする.
　この場合, 式 $[1 ]$ の右辺の級数をローラン級数, そして関数 $f(z)$ をローラン級数に展開することを点 $a$ まわりのローラン展開という.
1つの数式で表すと
\begin{align}
f(z) &= \sum^{\infty}_{n = -\infty}c_{n}(z-a)^{n} \nonumber \\
c_{n} &= \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}}dz \nonumber
\end{align}
となる.

　これが, ローラン展開です. テイラー展開の場合には $(z-a)$ の正のベキを考えましたが, ローラン展開では負のベキまで考えます. 係数が $b_{k}$ の部分, すなわち正のベキの部分はテイラー展開と同じですね. 一方, 係数が $a_{k}$ の部分, すなわち負のベキの部分をローラン展開の主要部と呼びます.
　関数 $f(z)$ が点 $a$ で正則な場合, $(z-a)$ の負のベキの係数 $a_{k}$ は, コーシーの積分定理より
\begin{align}
a_{k} &= \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}f(z)(z -a)^{ k - 1 }dz = 0 \nonumber
\end{align}
となります. よって主要部が全部消えてなくなるので, ローラン展開はテイラー展開と一致します.テイラー展開の一般化と言ったのはこういうことです.
　では実際にローラン展開をしてみましょう. わざわざ積分をしなくても, 有名な級数展開を利用してローラン展開できることが多いです.

例題7(ローラン展開)
　次の関数を点 $z = 0$ まわりでローラン展開しましょう.
(1) $\dfrac{e^{iz}}{z^{3}}$
(2) $\dfrac{1}{z(z +1 )}$
例題解答7
(1)
\begin{align}
e^{z} &= 1 + \frac{z^{1}}{1!} + \frac{z^{2}}{2!}+\cdots + \frac{z^{n}}{n!}+\cdots \nonumber
\end{align}
より, $f(z) =\dfrac{e^{iz}}{z^{3}}$ を $z = 0$ まわりでローラン展開すると,
\begin{align}
f(z) &= \frac{1}{z^{3}}\left(1 + iz + \frac{(iz)^{2}}{2!}+\frac{(iz)^{3}}{3!}+\frac{(iz)^{4}}{4!}+\frac{(iz)^{5}}{5!}+\cdots \right) \nonumber \\
&= \frac{1}{z^{3}} + \frac{i}{z^{2}} - \frac{1}{2!}\cdot\frac{1}{z} - \frac{i}{3!}+\frac{z}{4!} + i\frac{z^{2}}{5!} + \cdots \nonumber
\end{align}
となります.
(2) $f(z) = \dfrac{1}{z(z +1 )}$ は $z = 0$ と $z = -1$ を特異点に持つので, $(\,\mathrm{I}\,)0 \lt |z|\lt 1$ と $(\,\mathrm{I}\hspace{-1pt}\mathrm{I}\,)1 \lt |z|$ の2通りに場合分けしましょう.
$(\,\mathrm{I}\,)0 \lt |z|\lt 1$ の場合
$|-z| = |z| \lt 1$ なので, 幾何級数を利用して
\begin{align}
f(z) &= \frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-(-z)} \nonumber \\
&=\frac{1}{z}\{1 + (-z) + (-z)^{2} + (-z)^{3}+ \cdots\} \nonumber \\
&= \frac{1}{z}-1+z -z^{2} + \cdots \nonumber
\end{align}
とローラン展開できます.
$(\,\mathrm{I}\hspace{-1pt}\mathrm{I}\,)1 \lt |z|$ の場合
$\left|-\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|} \lt 1$ なので, 幾何級数を利用して
\begin{align}
f(z) &= \frac{1}{z}\cdot \frac{1}{z\left(1+ \frac{1}{z} \right)} \nonumber \\
&= \frac{1}{z^{2}}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{1}{z} \right)} \nonumber \\
&= \frac{1}{z^{2}}\left\{1 +\left(-\frac{1}{z} \right) + \left(-\frac{1}{z} \right)^{2}+\left(-\frac{1}{z} \right)^{3}+\cdots\right\} \nonumber \\
&= \frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{z^{4}}-\frac{1}{z^{5}}+\cdots \nonumber
\end{align}
とローラン展開できます.

　以前, 「特異点は3種類に分類できる」という話をしたのを覚えていますか？
　関数 $f(z)$ をローラン展開したときの主要部で特異点を分類できるのです.

特異点の分類
関数 $f(z)$ を特異点 $z =c$ まわりでローラン展開したとき,
(1)主要部が存在しない場合, 特異点 $c$ は $f(z)$ の除去可能特異点という.
(2)主要部は存在するが, $\dfrac{1}{z^{k}}$ までの有限の級数である場合, すなわち
\begin{align}
f(z) = \frac{a_{-k} }{z^{ k } } &+ \frac{a_{-( k - 1 ) } }{z^{ k - 1 } } +\cdots \frac{a_{-1} }{z}\nonumber \\
& +a_{0} + a_{1}z^{1} + \cdots \nonumber
\end{align}
とローラン展開できるとき, $c$ は $f(z)$ の $k$ 位の極という.
(3)主要部が存在して, 無限級数の場合, $c$ は $f(z)$ の真性特異点という.

　(1)の除去可能特異点とは, その名の通り除去可能な特異点です.
どういうことかというと, $f(c)$ の値を適当に定義することで, 点 $c$ でも $f(z)$ が正則であるようにできるということです. 実際, (1)の場合のローラン展開は
\begin{align}
f(z) &= \sum^{\infty}_{n = 0}a_{n}(z-c)^{n} \nonumber \\
a_{n} &= \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz \nonumber
\end{align}
なので,
\begin{align}
f(c) = \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{z-c}dz \nonumber
\end{align}
と定義することで, $f(z)$ は $c$ を含む領域でも正則になります.

留数定理

　さて, 留数定理の話にいきましょう. 留数定理は, ローラン展開を利用して積分値が求められるというものです.
　単純閉曲線 $C$ の内部に $N$ 個の特異点 $c_{1},c_{2},\cdots , c_{N}$ があるとします. また, $C_{1},C_{2},\cdots,C_{N}$ を, それぞれ点 $c_{1},\cdots,c_{N}$ を中心として, 他の特異点を円周および内部に含めない程度の半径を持った小円としましょう. このとき, 単純閉曲線 $C$ の正の向きに沿った複素線積分
\begin{align}
\oint^{}_{C}f(z)dz \nonumber
\end{align}
を考えます. ただし関数 $f(z)$ は特異点 $c_{1},\cdots,c_{N}$ を除いて単純閉曲線 $C$ の円周および内部で正則とします.
(ア)積分路の変形則より,
\begin{align}
\oint^{}_{C}f(z)dz = \sum^{N}_{j =1}\oint^{}_{C_{j}}f(z)dz \nonumber
\end{align}
です. 両辺に $\dfrac{1}{2\pi i}$ を掛けて,
\begin{align}
\frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}f(z)dz = \frac{1}{2\pi i}\sum^{N}_{j =1}\oint^{}_{C_{j}}f(z)dz \nonumber
\end{align}
となります.
(イ)点 $z =c_{j}$ まわりの $f(z)$ のローラン展開を,
\begin{align}
f(z) = \sum^{\infty}_{n = -\infty}a_{n}^{(j)}(z-c_{j})^{n} \nonumber
\end{align}
とすると, 円 $C_{j}$ に沿った積分は,
\begin{align}
\frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{c_{j}}\sum^{\infty}_{n=-\infty}a_{n}^{(j)}(z-c_{j})^{n}dz \nonumber \\
= \sum^{\infty}_{n=-\infty}a_{n}^{(j)}\oint^{}_{c_{j}}(z-c_{j})^{n}\frac{dz}{2\pi i} \nonumber
\end{align}
となります. 本来は, $\sum^{\infty}_{n=0}$ と $\int^{}_{}$ の順序を交換する際には関数の一様収束性を確かめなければなりません. しかし上式の被積分関数のようなベキ級数関数については, 第5章のところで収束性を論じますので, 今回は一様収束性の確認はパスします. あ, でも皆さんが普段積分する場合にはちゃんと確かめなければダメですよ！
(ウ)以前紹介した基本公式1を覚えていますか？

基本公式1
　 $m$ を整数, $C$ を点 $\alpha$ を中心とする半径 $r$ の円とする. このとき, 次が成立する.
\begin{align}
\int^{}_{C}(z-\alpha)^{m}dz =
\begin{cases}
0 &(m \neq -1)\\
2\pi i & (m = -1)
\end{cases}
\nonumber
\end{align}

　この基本公式1を踏まえて考えれば, 先ほどの積分
\begin{align}
\sum^{\infty}_{n=-\infty}a_{n}^{(j)}\oint^{}_{c_{j}}(z-c_{j})^{n}\frac{dz}{2\pi i} \nonumber
\end{align}
は $n=-1$ に関する数式しか残らないのが分かりますか？すなわち, $a_{-1}^{(j)}$ の項のみが残るということです. 特異点 $c_{j}$ 周りの積分すべてについてこれが言えるので求めたい積分値は
\begin{align}
\sum^{N}_{j=1}a_{-1}^{(j)} \nonumber
\end{align}
で求まります.
　さぁ, なんと $a_{-1}^{(j)}$ の総和で積分値が求まることが分かってしまいました！そもそも $a_{-1}$ とは, $f(z)$ をローラン展開したときの主要部の係数のひとつでした. しかし, 上の結果から, ローラン展開の他の係数よりも $a_{-1}$ は特別で重要な存在であることが分かっていただけたでしょうか. 係数 $a_{-1}$ には特別な名前が与えられています.

留数
$f(z)$ が孤立特異点 $z =c$ のまわりで
\begin{align}
f(z) = \sum^{\infty}_{n = -\infty}a_{n}(z-c)^{n} \nonumber
\end{align}
のようにローラン展開できるとき, 特に $\dfrac{1}{z-c}$ の係数 $a_{-1}$ を, 点 $c$ における $f(z)$ の留数(りゅうすう)といい, 記号
\begin{align}
a_{-1} = \underset{z=c}{\mathrm{Res}}\,f(z)dz \nonumber
\end{align}
と表す.

そして留数を用いて積分値が求められるというのが, 留数定理です.

留数定理
$f(z)$ は単純閉曲線 $C$ の内部に $N$ 個の孤立特異点 $c_{1},\cdots,c_{N}$ を持つ以外は, $C$ の周および内部全体で正則であるとする. このとき, それぞれの特異点における $f(z)$ の留数を用いて
\begin{align}
\oint^{}_{C}f(z)\frac{1}{2\pi i} = \sum^{N}_{j=1}\underset{z=c_{j}}{\mathrm{Res}}\,f(z)dz \nonumber
\end{align}
が成立する. これを留数定理という.