複素解析をざっとまとめるー19（複素関数の積分その４）

コーシーの積分公式
グルサの定理

コーシーの積分公式

　コーシーの積分公式は, コーシーの積分定理を出発点として導かれる重要な定理たちの1つです.

コーシーの積分公式
　複素関数 $f(z)$ が, 単純閉曲線 $C$ の周上および内部全体で正則であるとする. $C$ の内部の領域を $D$ とすると, 任意の点 $a\in D$ について次が成立する.
\begin{align}
f(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{z -a}dz \nonumber
\end{align}

　私は「積分定理」より, こっちの「積分公式」の方が好きです. この定理はとても不思議です. まず点 $a$ というのは当然 $C$ の内部の点です. 一方, 右辺の周回積分は $C$ に沿ったものですから, $z$ というのは $C$ 上の点です. そしてその2つの点についての情報が等式で結ばれているのです. 内部の点に関する情報 $f(a)$ を知るには, 周りの円に沿って積分した値を求めればいい, これがこの定理から分かることです. 証明を示しましょう.
証明
　 $g(z) = \dfrac{f(z)}{z-a}$ とすると, これは領域 $D$ の中に特異点 $a$ を持ちます. しかし, それ以外の点では正則なので, 点 $a$ を中心とする半径 $r$ の小円 $C_{a}$ を考えると, 変形則2より,
\begin{align}
\oint^{}_{C}g(z)dz = \oint^{}_{C_{a}}g(z)dz \nonumber
\end{align}
となります. ここで, $C_{a}$ 上の点は, パラメータ $t$ とオイラーの公式を用いて,
\begin{align}
\varphi(t) = a + re^{it}\quad (t:0\to 2\pi) \nonumber
\end{align}
と表せます. これを実際に代入すると,
\begin{align}
\int^{2\pi}_{0}g(\varphi(t))\frac{d\varphi(t)}{dt}dt &= \int^{2\pi}_{0}\frac{f(a + re^{it})}{a + re^{it}-a}\cdot ire^{it}dt \nonumber \\
&= i\int^{2\pi}_{0}f(a + re^{it})dt \nonumber
\end{align}
となります. ここで, $C_{a}$ の半径 $r$ の値は任意であり, どんなに小さな値でもよいため, $r\to +0$ の極限を考えると, 上式は
\begin{align}
i\int^{2\pi}_{0}f(a + re^{it})dt &= i\int^{2\pi}_{0}f(a )dt \nonumber \\
&= if(a)\int^{2\pi}_{0}dt = 2\pi if(a) \nonumber
\end{align}
となります. よって,
\begin{align}
\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{z-a}dz &= 2\pi if(a) \nonumber \\
\therefore \quad f(a) &= \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{z -a}dz \nonumber
\end{align}
が成立します.
証明終
　次にコーシーの積分公式の一般形であるグルサの定理を説明します.

グルサの定理

　グルサの定理はコーシーの積分定理の一般形と言ってますが, つまりこういうことです.

グルサの定理
　複素関数 $f(z)$ が, 単純閉曲線 $C$ の周上および内部全体で正則であるとする. $C$ の内部の領域を $D$ とすると, 任意の点 $a\in D$ について次が成立する.
\begin{align}
f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z -a)^{n+1}}dz \nonumber
\end{align}

　 $f^{n}(z)$ とは, $f(z)$ の $n$ 階導関数を表します. この定理すごくないですか？積分したら導関数が求まるんですよ？すごいよね. 証明もそう難しくありません.
証明
最初に積分公式の含まれる複素定数 $a$ を複素変数 $w$ に置き換えます.
\begin{align}
f(w) = \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{z-w}dz \nonumber
\end{align}
$z$ は $C$ 上の点であり, $w$ は $C$ の内部の点なので, $z=w$ となることはありません. よって関数 $\dfrac{1}{z -w}$ は $C$ の内部で正則な関数です. そのため, 積分公式の両辺を, 変数 $w$ について微分することができます. すると,
\begin{align}
\frac{d}{dw}f(w) = \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z-w)^{2}}dz \nonumber
\end{align}
となります. 先ほどと同様の理由で, 関数 $\dfrac{1}{(z-w)^{2}}$ も $C$ の内部で正則な関数であり, 再び $w$ について微分が可能です. もう1度 $w$ で微分すると,
\begin{align}
f^{(2)}(w) = \frac{2}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z-w)^{3}}dz \nonumber
\end{align}
となります. 同じ作業を何度も繰り返すことで, 帰納的に一般形
\begin{align}
f^{(n)}(w) = \frac{n!}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz \nonumber
\end{align}
が得られます.
証明終
さてでは, これらの定理を利用して積分値を求めてみましょう.

例題6(積分公式)
$C$ を, 原点を中心とする半径 $2$ の円に正の向きをつけたものとする. 次の積分を求めよう.
(1) $\displaystyle\oint^{}_{C}\frac{\cos z}{z}dz$
(2) $\displaystyle\oint^{}_{C}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz$
例題7(グルサの定理)
$C$ を, 原点を中心とする半径 $1$ の円に正の向きをつけたものとする. 次の積分を求めよう.
(1) $\displaystyle\oint^{}_{C}\frac{\sin z}{z^{2}}dz$
(2) $\displaystyle\oint^{}_{C}\frac{z^{3}}{(2z-1)^{3}}dz$
例題解答6
(1) $f(z) = \cos z$ とおくと, これは複素平面全体で正則な関数なので, 当然 $C$ およびその内部でも正則です. よってコーシーの積分公式より,
\begin{align}
\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{z}dz &= 2\pi i f(0) \nonumber \\
&= 2\pi i\cos 0 = 2\pi i \nonumber
\end{align}
(2)部分分数分解の発想から,
\begin{align}
\frac{e^{z}}{z^{2}-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{e^{z}}{z-1} + \frac{e^{z}}{z+1}\right) \nonumber
\end{align}
が分かります. まずは閉曲線の場合の変形則を用いて,
\begin{align}
\oint^{}_{C}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz = \oint^{}_{C_{1}}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz +\oint^{}_{C_{2}}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz \nonumber
\end{align}
とします. ただし $C_{1},C_{2}$ はそれぞれ点 $1,-1$ を中心とする小円とします. コーシーの積分定理から,
\begin{align}
\oint^{}_{C_{1}}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz &= \oint^{}_{C_{1}} \frac{1}{2} \left( \frac{e^{z}}{z-1} + \frac{e^{z}}{z+1} \right) dz \nonumber \\
&= \frac{1}{2} \left( \oint^{}_{C_{1}} \frac{e^{z}}{z-1} dz + \oint^{}_{C_{1}}\frac{e^{z}}{z+1} dz \right) \nonumber \\
&=\frac{1}{2} \oint^{}_{C_{1}} \frac{e^{z}}{z-1}dz \tag{1}
\end{align}
同様にして,
\begin{align}
\oint^{}_{C_{2}}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz &= \oint^{}_{C_{2}}\frac{1}{2}\left(\frac{e^{z}}{z-1} + \frac{e^{z}}{z+1}\right)dz \nonumber \\
&= \frac{1}{2}\oint^{}_{C_{2}}\frac{e^{z}}{z+1}dz\tag{2}
\end{align}
となります. 式(1),(2)より
\begin{align}
\oint^{}_{C}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz =\frac{1}{2}\left( \oint^{}_{C_{1}}\frac{e^{z}}{z-1}dz+\oint^{}_{C_{2}}\frac{e^{z}}{z+1}dz\right) \nonumber
\end{align}
$f(z) = e^{z}$ とおくと, これは複素平面全体で正則な関数なので, コーシーの積分公式より,
\begin{align}
\oint^{}_{C_{1}}\frac{f(z)}{z-1}dz &= 2\pi i f(1) \nonumber \\
&= 2\pi i e \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\oint^{}_{C_{2}}\frac{f(z)}{z+1}dz &= 2\pi i f(-1) \nonumber \\
&= 2\pi i e^{-1} \nonumber
\end{align}
となります. よって答えは
\begin{align}
\frac{1}{2}(2\pi i e + 2\pi i e^{-1}) = \pi i (e-e^{-1}) \nonumber
\end{align}
例題解答7
(1) $f(z) = \sin z$ とおくと, これは複素平面全体で正則な関数なので, 当然 $C$ とその内部全体で正則です. よってグルサの定理より,
\begin{align}
\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z - 0)^{2}}dz &= \frac{2\pi i}{1!}f^{(1)}(0) \nonumber \\
&= 2\pi i\cos 0 = 2\pi i \nonumber
\end{align}
(2)\begin{align}
\frac{z^{3}}{(2z -1)} = \frac{z^{3}}{8\left(z - \frac{1}{2} \right)^{3}} \nonumber
\end{align}
より, $f(z) = \dfrac{z^{3}}{8}$ とおくと, こちらも複素平面全体で正則な関数です. よってグルサの定理より,
\begin{align}
\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{\left(z - \frac{1}{2} \right)^{3}}dz &= \frac{2\pi i}{2!}f^{(2)}\left( \frac{1}{2}\right) \nonumber \\
&= \pi i \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}\pi i \nonumber
\end{align}

次回は留数定理を話します.