Kiri's diary

きりねこNote

数学関連のことについてよく書きます

複素解析をざっとまとめるー16(複素関数の積分その1)

目次

複素関数積分

 さて複素積分にいきましょう. 複素積分は美しい定理が目白押しです. 面白いですよ. では微分のときと同様, 実関数の復習からいきましょう.

リーマン積分

 y= f(x) を閉区間 a\le x\le b = [a, b ] で定義された連続関数とする. 実数直線上のこの区間の上に N+1 個の分割点
\begin{align}
a = x_{0}< x_{1}<\cdots < x_{N} = b \nonumber
\end{align}
を取ると,  f(x_{k})  \Delta x_{k}= x_{k+1}-x_{k} の積によりリーマン和が以下のように定義できる.
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-1}f(x_{k})\Delta x_{k}=\sum_{k=0}^{N-1}f(x_{k})(x_{k+1}-x_{k}) \nonumber
\end{align}
 このリーマン和は N を無限に増やし, 分割点同士の差 \Delta x_{k}= x_{k+1}-x_{k} を一様に 0 に近づけることである値に収束する. 連続関数においては, この収束値を積分値と呼び, 次のように書く.
\begin{align}
\int^{b}_{a}f(x)dx \nonumber
\end{align}
 特に,  f(x) 区間 [a,b ]の全ての点で微分可能ならば次が成立する.
\begin{align}
\int^{b}_{a}f'(x)dx = f(b)-f(a) \nonumber
\end{align}
 これを微積分学の基本定理という.

積分


 2変数関数に対しては, 積分積分を定義することができます. まずは線積分から.
 リーマン積分のときには閉区間 [a,b ]を考えました. これはすなわち始点と終点の情報だけを考えていたということです. 線積分とは, 平面内の始点と終点に加え, 始点から終点へ至る経路も指定して積分するものです. 複素積分といえば, 普通は複素線積分を表します. 面積分が全く無意味という訳ではありません. しかし, 複素積分に現れる様々な美しい定理は原則として線積分の上に成立しており, 面積分に立脚した強力な理論体系が構築されていないことがその理由でしょう.
 線積分は実数直線上の微積分学の基本定理を一般化したものです. 平面上のある曲線 C を考えましょう.
 曲線 C の座標はパラメータ t を用いて,
\begin{align}
C = \{(u(t),v(t))\in \mathbb{R}^{2}|t\in[a,b]\} \nonumber
\end{align}
と表せるとします. そしてこの t の閉区間 N+1 個の分割点で分割します.
\begin{align}
a = t_{0}< t_{1}<\cdots < t_{N}=b \nonumber
\end{align}
 連続する2つの分割点間の距離を \Delta とします.
 この分割に基づいて曲線 C 上の点を
\begin{align}
P_{i} = (u(t_{i}),v(t_{i}))\quad (i = 0,1,\cdots,N) \nonumber
\end{align}
と定め, さらに
\begin{align}
s_{i} = |P_{i}P_{i-1}|\nonumber
\end{align}
とします. すなわち s_{i}  P_{i}  P_{i-1} の距離を表します.
 そして曲線 C 上の線積分を次のように定義します.

\begin{align}
\int^{}_{C}f ds =\lim_{|\Delta|\to 0}\sum_{i=1}^{N}f(P_{i})s_{i} \nonumber
\end{align}


  s_{i} を別の値に置き換えることで, 線積分の変種が定義できます.

 積分の変種
\begin{align}
\int^{}_{C}fdx &= \lim_{|\Delta|\to0}\sum_{i = 0}^{N}f(P_{i})(u(t_{i})-u(t_{i-1})) \tag{1} \\
\int^{}_{C}fdy &= \lim_{|\Delta|\to0}\sum_{i = 0}^{N}f(P_{i})(v(t_{i})-v(t_{i-1})) \tag{2}
\end{align}
(1)を f  C に沿った x 方向の線積分, (2)を f  C に沿った y 方向の線積分と呼ぶ.


 つまり線積分とは, 曲線 C 上のそれぞれの点に対して値が関数 f(P_{t}) で定められていて, その値の総和ということなわけです. もし関数 f が常に 1 を取る定数関数ならば, 次のようになるのはわかりますか.
\begin{align}
\int^{}_{C}1 ds = \mbox{曲線} C \mbox{の長さ} \nonumber
\end{align}
 これは線積分の定義から曲線の長さが分かる, というよりはこれが曲線の長さの定義です.
 線積分で注意する点は, まず, 始点から終点までどのような曲線に沿って線積分を行うかで, 結果の値は異なるということです. 始点から終点までの「経路」という言い方をよくします. 始点から終点まで, 一直線の直線を選んだ場合と, ちょっと曲がった経路を選んだ場合では, 始点と終点が同じでも線積分の結果は異なります.

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 もう1つの注意点は, 曲線 C に「向き[方向]」が決められているということです. 当然, 始点から終点への方向へ向かうのです. 向きが変われば, 線積分の値も変化します.

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 曲線 C に逆の向きを指定した曲線を C^{-1} と書きます. このとき, 曲線の向きについて次のような重要な性質があります.

曲線の向きと線積分
\begin{align}
\int^{}_{C^{-1}}fdx &= -\int^{}_{C}fdx \nonumber \\
\int^{}_{C^{-1}}fdy &= -\int^{}_{C}fdy \nonumber \\
\int^{}_{C^{-1}}f ds &= \int^{}_{C}f ds \nonumber
\end{align}


 また, 2つの経路 C_{1},C_{2} の結合で定められる経路を C_{1}C_{2} と書くと, 次式が成立します.

経路の結合
\begin{align}
\int^{}_{C_{1}C_{2}}f ds = \int^{}_{C_{1}}f ds+\int^{}_{C_{2}}f ds \nonumber
\end{align}
経路が C_{1},C_{2},\cdots,C_{n}  n 個の経路の結合経路の場合
\begin{align}
\int^{}_{C_{1}C_{2}\cdots C_{n}}f ds = \sum^{n}_{k=1}\int^{}_{C_{k}}f ds \nonumber
\end{align}
例題1
 f(x,y) = x^{2}+y^{2} とする. 始点 P(0,0) から終点 Q(1,2) までの経路 C が, 次の図で示す経路 C_{1},C_{2} であるとき, 線積分
\begin{align}
\int^{}_{C}f(x,y)dx \nonumber
\end{align}
の値をそれぞれ求めよ.

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(1) C_{1}
(2) C_{2}
周回積分

 線積分において経路 C が閉じている, すなわち始点と終点が一致しているとき, このような経路 C に沿った線積分を特に周回積分と呼び, 記号では,
\begin{align}
\oint_{C}f ds
\end{align}
と書きます. このような閉じた曲線のことを閉曲線といいます. この場合の経路にも向きは決められていて, 一般的には始点から出発して反時計まわりに進んでいく方向を正の向きといいます. 直感的に説明すると, 自分が経路の上に立って両手を横に伸ばして歩いてゆくときに, 常に左手が経路の内側に入っているような進行方向が正の向きです.
 また, 閉曲線の中でも, 始点と終点以外では自己交叉しないものを単純閉曲線といいます.

積分

 関数 f に経路 C に基づく微小な値 ds あるいは dx あるいは dy を掛け, その値を経路に沿って足し上げる積分を線積分というのでした.
 これに対し積分とは, 関数 f に面積に基づく微小な値 dx,dy を掛け, 面積に沿って足し上げるというものです. 平面上のある領域 D に対し, 面積分は次のように定義されます.

 面積分
 平面上の領域 D に対し面積分
 \begin{align}
 \int^{}_{D}f(x,y)dS \nonumber
 \end{align}
 ただし dS は領域 D 内の微小な長方形の面積. すなわち
 \begin{align}
 dS = dx\cdot dy \nonumber
 \end{align}
 よって面積分は次のように書ける.
 \begin{align}
 \int^{}_{D}f(x,y)dS &= \iint^{}_{D}f(x,y)dxdy \nonumber \\
 &=\lim_{i,j\to\infty}\sum_{i,j}f(x_{i},y_{j})(x_{i+1}-x_{i})(y_{j+1}-y_{j}) \nonumber \\
 &= \lim_{\Delta\to0}\sum_{i,j}f(x_{i},y_{j})\Delta x_{i}\Delta y_{j} \nonumber
 \end{align}

例題2
関数 f(x,y)=\sqrt{x+y} に対して面積分を求めよう. ただし領域 D
\begin{align}
D = \{(x,y)\,|\,0\leq x \leq 1,0\leq y\leq 1\} \nonumber
\end{align}
を満たす正方形の領域とします.
例題解答
例題解答1
(1)経路 C_{1} 上を移動する点をパラメータ t を用いて x(t)=t,y(t)=2t と表すと,  t  0\leq t\leq 1 の間を 0\to1 の方向へ変化します.  \frac{dx}{dt}=1 より,
\begin{align}
\int^{}_{C_{1}}f(x,y)dx &=\int^{}_{C_{1}}f(x,y)\frac{dx}{dt}dt \nonumber \\
&= \int^{1}_{0}(t^{2}+4t^{2})\cdot 1 dt \nonumber \\
&=\left[\frac{1}{3}t^{3}+\frac{4}{3}t^{3}\right]^{1}_{0} \nonumber \\
&= \frac{5}{3} \nonumber
\end{align}
(2) (1,0) を点 R としよう. そして点 P から点 R までの経路を C_{2}' , 点 R から点 Q までの経路を C_{2}'' としよう. するとそれぞれの経路はパラメータ t を用いて
\begin{align}
C_{2}':x(t)=t,\quad y(t)=0\qquad(0\leq t\leq 1,0\to1) \nonumber \\
C_{2}'':x(t)=1,\quad y(t)=t\qquad(0\leq t\leq 2,0\to2) \nonumber
\end{align}
と表せます.  C_{2}=C_{2}'C_{2}'' なので線積分
\begin{align}
\int^{}_{C_{2}}f(x,y)dx &=\int^{}_{C_{2}'}fdx+\int^{}_{C_{2}''}fdx \nonumber \\
&=\int^{1}_{0}(t^{2}+0)\cdot1dt+\int^{2}_{0}(1^{2}+t^{2})\cdot0dt \nonumber \\
&= \left[\frac{1}{3}t^{3}\right]^{1}_{0} \nonumber
\end{align}
積分の値が, 一般には経路に依存することが分かってもらえましたか?
例題解答2
\begin{align}
\iint^{}_{D}\sqrt{x+y}\,dxdy &= \int^{1}_{0}\left(\int^{1}_{0}\sqrt{x+y}\,dx\right)dy \nonumber \\
&= \int^{1}_{0}\left[\frac{2}{3}(x+y)^{3/2}\right]^{y=1}_{y=0}dy \nonumber \\
&= \frac{2}{3}\int^{1}_{0}\left( (x+1)^{3/2}-x^{3/2}\right)dy \nonumber \\
&= \frac{2}{3}\left[ \frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{5}x^{5/2}\right]^{1}_{0} \nonumber \\
&= \frac{4}{15}\left(2^{5/2}-1-1 \right) = \frac{8}{15}(2\sqrt{2}-1) \nonumber
\end{align}