複素解析をざっとまとめるー8（様々な複素関数その4）

複素三角関数

複素三角関数

複素三角関数の定義

　オイラーの公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ を使うと $\cos\theta,\sin\theta$ はそれぞれ,
\begin{align}
\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \nonumber \\
\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \nonumber
\end{align}
と表せます. この $\theta$ は実数ですが, 複素数の三角関数はこの実数 $\theta$ を複素数 $z$ に書き換えるだけで大丈夫です. すなわち複素数の三角関数は

複素三角関数-1
\begin{align}
\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \nonumber \\
\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \nonumber\\
\tan z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})} \nonumber
\end{align}

となります. 指数関数 $e^{iz}$ を用いて複素三角関数を定義できるのです.
指数関数 $e^{z}$ と同様の方法で定義すると, $\sin z,\cos z$ はそれぞれ,

複素三角関数-2
\begin{align}
\sin z &= z^{1}-\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}-\frac{z^{7}}{7!}+\cdots \nonumber \\
\cos z &= z^{0}-\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}-\frac{z^{6}}{6!}+\cdots \nonumber
\end{align}

と定義できます.
　この関数を見て, 実関数の双曲線関数を思い出しましたか？双曲線関数とは, 次のようなものでした.

双曲線関数
f:id:TeikaKiri:20180120195921j:plain

双曲線関数のグラフも載せておきましょう.

f:id:TeikaKiri:20180120195703p:plain — 双曲線関数

　この双曲線関数を用いると, 複素三角関数を実部と虚部に分解できます. それは次のような式です. $z = x+iy$ とすると,

f:id:TeikaKiri:20180120200002j:plain

　三角関数の加法定理に似てますね. 証明しましょう.

f:id:TeikaKiri:20180120200017j:plain

ほらね.

三角関数の基本的性質

　複素三角関数では, 実三角関数と同様に, 次の式が成立します.
\begin{align}
(1)
\begin{cases}
\cos(-z) =\cos z \\
\sin(-z)= -\sin z \\
\tan(-z)=-\tan z
\end{cases}
\nonumber
\end{align}
\begin{align}
(2)
\begin{cases}
\cos z=\cos(z+2n\pi) \\
\sin z=\sin(z+2n\pi) & (n\mbox{は整数}) \\
\tan z = \tan(z+n\pi)
\end{cases}
\nonumber
\end{align}
\begin{align}
(3)\quad \cos^{2}z+\sin^{2}z = 1 \nonumber
\end{align}
\begin{align}
(4)
\begin{cases}
\cos(z_{1}\pm z_{2})= \cos z_{1}\cos z_{2}\mp\sin z_{1}\sin z_{2} \\
\sin(z_{1}\pm z_{2})=\sin z_{1}\cos z_{2}\pm \cos z_{1}\sin z_{2} \\
\tan(z_{1}\pm z_{2}) = \dfrac{\tan z_{1}\pm\tan z_{2}}{1\mp \tan z_{1}\tan z_{2}}
\end{cases}
\nonumber
\end{align}
一応, $(1)$ から順番に証明も書いておきましょう.
$(1)$
\begin{align}
\cos(-z) &= \frac{e^{i(-z)}+e^{-i(-z)}}{2} = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} = \cos z \nonumber \\
\sin (-z)& = \frac{e^{i(-z)}-e^{-i(-z)}}{2} = -\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2} = -\sin z \nonumber \\
\tan (-z) &= \frac{\sin (-z)}{\cos(-z)} = \frac{-\sin z}{\cos z} = -\tan z \nonumber
\end{align}
$(1)$ は簡単ですね. $(2)$ の証明には, 指数関数の周期性を用います.
\begin{align}
\cos(z+2n\pi) &= \frac{e^{i(z+2n\pi)}+e^{-i(z+2n\pi)}}{2} \nonumber \\
&=\frac{e^{iz}\cdot e^{2n\pi i}+e^{-iz}\cdot e^{-2n\pi i}}{2} \nonumber \\
&=\frac{e^{i(z+2n\pi)}+e^{-i(z+2n\pi)}}{2} \nonumber \\
&= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \quad (e^{\pm2n\pi i} = 1) \nonumber \\
&= \cos z \nonumber
\end{align}
$\sin z=\sin(z+2n\pi)$ の証明も同様にできます.やってみてください.
\begin{align}
\tan(z+n\pi) &= \frac{e^{i(z+n\pi)}-e^{-i(z+n\pi)}}{i(e^{i(z+n\pi)}+e^{-i(z+n\pi)})} \nonumber \\
&= \frac{e^{iz}\cdot e^{in\pi}-e^{-iz}\cdot e^{-in\pi}}{i(e^{iz}\cdot e^{in\pi}+e^{-iz}\cdot e^{-in\pi})} \nonumber \\
&= \frac{e^{iz}\cdot e^{in\pi}-e^{-iz}\cdot e^{in\pi}}{i(e^{iz}\cdot e^{in\pi}+e^{-iz}\cdot e^{in\pi})} \nonumber \\
&= \frac{e^{in\pi}(e^{iz}-e^{-iz})}{i e^{in\pi}(e^{iz}+e^{-iz})} \nonumber \\
&= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})} \nonumber \\
&= \tan z \nonumber
\end{align}
上の2行目から3行目への変形には
\begin{equation}
e^{i(n\pi -2n\pi)} = e^{-in\pi}\quad \mbox{より}\quad e^{in\pi} = e^{-in\pi} \nonumber
\end{equation}
という性質を用いています. これで実三角関数同様, 複素三角関数も $\sin z$ と $\cos z$ は周期 $2\pi$ を, $\tan z$ は周期 $\pi$ を持つことが分かりました. 次は $(3)$ と $(4)$ です.
$(3)$
\begin{align}
\cos^{2}z+\sin^{2}z &=\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}\right)^{2} \nonumber \\
&=\frac{1}{4}(e^{2iz}+2+e^{-2iz})-\frac{1}{4}(e^{2iz}-2+e^{-2iz}) \nonumber \\
&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1 \nonumber
\end{align}

$(4)$
\begin{align}
\cos z_{1}\cos z_{2}\mp \sin z_{1}\sin z_{2} &= \frac{e^{iz_{1}}+e^{-iz_{1}}}{2}\cdot \frac{e^{iz_{2}}+e^{-iz_{2}}}{2}\mp \frac{e^{iz_{1}}-e^{-iz_{1}}}{2i}\cdot \frac{e^{iz_{2}}-e^{-iz_{2}}}{2i} \nonumber \\
&=\frac{1}{4}(e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{i(z_{1}-z_{2})}+e^{-i(z_{1}-z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}) \nonumber \\
&\qquad\pm\frac{1}{4}(e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{i(z_{1}-z_{2})}+e^{-i(z_{1}-z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}) \nonumber \\
&= \frac{1}{2}(e^{i(z_{1}+z_{2})}\pm e^{-i(z_{1}+z_{2})}) \nonumber \\
&= \cos(z_{1}\pm z_{2}) \nonumber
\end{align}
$\sin(z_{1}\pm z_{2})=\sin z_{1}\cos z_{2}\pm \cos z_{1}\sin z_{2}$ も同様に導けます. 演習問題にしましょう. $\tan(z_{1}\pm z_{2}) = \dfrac{\tan z_{1}\pm\tan z_{2}}{1\mp \tan z_{1}\tan z_{2}}$ については, $\tan(z_{1}\pm z_{2}) = \dfrac{\sin(z_{1}\pm z_{2})}{\cos(z_{1}\pm z_{2})}$ を考えることでこちらもすぐに導けます.

複素三角関数の値域

　これらの性質を見ると実三角関数とほぼ同じのように思えますが, 大きく異なる性質もあります. それは三角関数の値域です.
　実三角関数 $\cos x, \sin x$ の値域はどちらも,
\begin{align}
-1\leq \cos x \leq 1 \nonumber \\
-1\leq \sin x \leq 1 \nonumber
\end{align}
です. 絶対値の値域は,
\begin{align}
0\leq|\cos x| \leq 1 \nonumber \\
0\leq |\sin x |\leq 1 \nonumber
\end{align}
となります. 一方複素三角関数の値域はこのようにはなりません. 複素三角関数は複素数なのでそのままでは大小関係の比較ができません. なので複素三角関数の絶対値を考えましょう. まずは $\cos z= \cos(x+iy)$ について,

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より,

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となります. 実数 $x$ が $x=2\pi$ である場合を考えてみましょう. このとき $|\cos(x+iy)|$ は,

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となります. ここで $\cosh\, y$ は, $y=0$ のとき $\cosh\,0=1$ となり, $|y|$ が大きくなるにつれていくらでも大きな値を取ることができます. これより $x=2\pi$ のとき $|\cos (x+iy)|$ の値域は,

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となります.

　次に $x=\dfrac{\pi}{2}$ とすると,

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となります. $|\mathrm{sinh}\, y|$ は, $y=0$ のとき $\mathrm{sinh}\,0=0$ となり, こちらも $|y|$ が大きくなるにつれていくらでも大きな値を取ることができます. これより $x=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $|\cos (x+iy)|$ の値域は,

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となります.
　(ア),(イ)からわかるように, 複素三角関数 $\cos z$ の絶対値は実三角関数とは全く違います. $|\cos z|$ を調べたのと同様の方法で, $|\sin z|$ の値域も
\begin{equation}
0\leq|\sin z| < \infty \nonumber
\end{equation}
となることがわかります. このように実三角関数と複素三角関数で異なる性質もあるのです.後に説明しますが, 《複素三角関数が有界ではない》という事実はリウヴィルの定理から導かれる性質の一つなのです！