複素解析をざっとまとめるー7（様々な複素関数その3）

累乗関数
- 累乗関数の定義
- 累乗関数の主値
多価関数

累乗関数

累乗関数の定義

　指数関数では《 $e$ の複素数乗》を定義しました. 今度は《複素数の複素数乗》を定義します. これを累乗関数といいます. 累乗関数についても, 実数の場合の累乗関数を複素数に拡張したものです. 実数での累乗関数は,
\begin{align}
\log (x^{a}) = a\log x \nonumber \\
\therefore \quad x^{a} = \exp\{a\log x\} \nonumber
\end{align}
というものです. 複素数の累乗関数はこの実数 $x,a$ を複素数に置き換えるだけです.
　 $\exp$ という記号はわかりますか？ $e$ の指数が長くなるときには $\exp\{\}$ の $\{\}$ に指数部分を書くことで見やすくするのです. すなわち, $\exp\{a\log x\}$ と $e^{a\log x}$ は数学的に同じもの表します.

累乗関数の定義
複素数 $z,a$ について, 累乗関数 $w=z^{a}$ を
\begin{align}
z^{a} = \exp\{a\log z\} \nonumber
\end{align}
と定義する.

　累乗関数には対数関数が現れます. 対数関数が多価関数だったように, 累乗関数も多価関数になります. つまり, $z=re^{i\theta}$ とすると,
\begin{align}
z^{a} &= \exp\{a\log z\} \nonumber \\
&=\exp\{a(\log r+i(\theta+2n\pi))\} \nonumber \\
&= \exp\{a\log r\}\exp\{(\theta+2n\pi)ai\} \nonumber \\
&=r^{a}\exp\{ai\theta\}\exp\{2na\pi i\}\quad(n\mbox{は整数}) \nonumber \\
[&=r^{a}e^{ai\theta}e^{2na\pi i}]\nonumber
\end{align}
と多価関数になります. 式からわかるように, $z^{a}$ に多価性を与えているのは $\exp\{2na\pi i\}=e^{2na\pi i}$ の部分です. しかし, $a$ が整数である場合には, $\exp\{2na\pi i\}$ は常に $\exp\{2na\pi i\}=1$ を満たすため, 厳密に言えば, 累乗関数 $z^{a}$ が多価関数になるのは, $a$ が整数でない場合です.

累乗関数の主値

　多価性を持つ累乗関数にも主値があります. それは対数関数を主値に固定して,

累乗関数の主値
\begin{align}
z^{a} &= \exp\{a\mathrm{Log}\,z\} \nonumber \\
&= r^{a}e^{ia\theta} \nonumber
\end{align}

と定義されます.
　具体例として $(1+i)^{\frac{2}{3}}$ の値を求めましょう.
　 $1+i$ は極形式で $1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ と表せるため, ここから
\begin{align}
(1+i)^{\frac{2}{3}} &= (\sqrt{2})^{\frac{2}{3}}e^{i\frac{\pi}{4} \frac{2}{3}}e^{\frac{4}{3}n\pi i} \nonumber \\
&= \sqrt[3]{2} e^{\frac{\pi}{6}}e^{\frac{4}{3}n\pi i} \nonumber \\
&= \sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)e^{\frac{4}{3}n\pi i} \nonumber
\end{align}
とわかります.

多価関数

　対数関数のように, 1つの $z$ に対して $w$ が複数の値を取る関数を多価関数といいます. $w=\log z$ は $w$ の取りうる値が無限に存在するので, 多価関数の中でも特に無限多価関数と呼びます. そもそも, 私達が最初に教わった写像の定義では, 多価関数は写像[関数]に含まれません. 私たちは写像の定義を次のように教わりました.

写像
集合 $A$ の任意の元 $a$ に対し, 集合 $B$ の元 $f(a)$ がただ一つ定まっているとき, $f$ を $A$ から $B$ への写像とよぶ.

　この定義に基づくと, 次の図のような集合 $A,B$ の対応は《写像》とは呼べません.

f:id:TeikaKiri:20180118154332j:plain — これは写像ではない

f:id:TeikaKiri:20180118154343p:plain — これも写像ではない

上の2つの図のうち, 後半の図が多価関数の図になります.本来は多価関数は関数に含むことはできませんが, 写像の定義を拡張して, 多価関数も関数として認めているのです.多価関数に対して, 1つの値に1つの値が定まるような普通の関数のことを1価関数とよびます. 一般に1つの値に $n$ 個の値が定まる関数は $n$ 価関数とよびます. 多価関数を1価関数と同様に取り扱うための方法としてリーマン面が考案されました. リーマン面についても, 最後のほうで話しますね.