Kiri's diary

きりねこNote

数学関連のことについてよく書きます

複素解析をざっとまとめるー6(様々な複素関数その2)

目次

 

指数関数

複素指数関数の定義

 極座標の紹介のところでオイラーの公式をやりました. こういうやつです.
\begin{align}
e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta \nonumber
\end{align}
 オイラーの公式は《ネイピア数 e の純虚数乗》というものですが, これを一般の複素数に拡張した e^{z} 複素数指数関数と呼びます. 指数関数の定義は次のような式です.

指数関数の定義
\begin{equation}
e^{z} = z^{0}+\frac{z^{1}}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots+\frac{z^{n}}{n!}+\cdots \nonumber
\end{equation}

 この指数関数 e^{z} オイラーの公式 e^{i\theta} は《 e 複素数乗》と考えると訳が分からなくなってしまうので, 数学的記号の1つと捉えた方がいいかもしれません.
 微分積分でやったテイラー展開を覚えていますか?実関数 f(x) をある点 x=a から得られる情報を用いて, べき級数の無限和で近似する方法をテイラー展開といいました. 点として x=0 を用いたテイラー展開を, 特にマクローリン展開というのでしたね. ネイピア数 e マクローリン展開は次のようなものです.

 e マクローリン展開
\begin{equation}
e^{x} = x^{0}+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots \nonumber
\end{equation}

この x は実数です. この実数 x 複素数 z に置き換えたものが複素数の指数関数というわけです.

指数法則


 指数関数にも実数と同様に指数法則が成立します. すなわち複素数 z,w について,

指数法則
\begin{align}
e^{z}\cdot e^{w} &= e^{z+w} \nonumber \\
\frac{e^{z}}{e^{w}} &= e^{z-w} \nonumber \\
(e^{z})^{n} &= e^{nz} \nonumber
\end{align}

が成立します.

指数関数の周期性


 複素数の指数関数の大きな特徴として周期性があります. ですがその前にオイラーの公式の周期性について話しましょう. 実三角関数の対応
\begin{align}
\cos\theta &= \cos(\theta+2n\pi) \nonumber \\
\sin\theta &= \sin(\theta+2n\pi)\quad (n\mbox{は整数}) \nonumber
\end{align}
から, オイラーの公式の周期性
\begin{align}
\cos\theta+i\sin\theta &= \cos(\theta+2n\pi)+i\sin(\theta+2n\pi) \nonumber \\
\Leftrightarrow \quad e^{i\theta} &= e^{i(\theta+2n\pi)} \nonumber
\end{align}
を導くことができます. すなわち
\begin{equation}
e^{i\theta} = e^{i\theta+2\pi} = e^{i\theta+4\pi} = \cdots \nonumber
\end{equation}
となるということです.
 では指数関数の周期性です.
 ある複素数 z = x+iy の指数関数
\begin{align}
e^{z} = e^{x+iy} \nonumber
\end{align}
は指数法則とオイラーの公式を用いて
\begin{align}
e^{x+iy} = e^{x}e^{iy} \quad
[=e^{x}(\cos y+i\sin y)] \nonumber
\end{align}
と表せます. ここでオイラーの公式の周期性から,
\begin{align}
e^{x}e^{iy} = e^{x}e^{i(y+2n\pi)}\quad (n\mbox{は整数}) \nonumber
\end{align}
がわかります. すなわち,

指数関数の周期性
\begin{align}
e^{x}e^{iy} &= e^{x}e^{i(y+2\pi)}= e^{x}e^{i(y+4\pi)}=\cdots \nonumber \\
\Leftrightarrow e^{z}&=e^{z}e^{i2\pi}=e^{z}e^{i4\pi}=\cdots \nonumber
\end{align}

となるということです.
 これは以前話した《複素数の範囲では成立するけど, 実数の範囲では成立しない数学的性質》の1つです. 実関数としての e^{x} は増加関数ですが, 複素関数としての e^{z} は周期性を持つのです.

 

対数関数

複素対数関数の定義


 次に対数関数です. 対数関数は指数関数を用いて, 実関数の自然対数のように定義します.

対数関数の定義
 z = e^{w} を満たす複素数 z,w について
\begin{equation}
w = \log z \nonumber
\end{equation}
とする.


 対数の底がネイピア数 e の場合は自然対数と言って, 対数の底を書かないんでしたね.
 この対数関数を実部と虚部に分けて表現するとどうなるのか確かめます.
 z=re^{i\theta}, w=u+iv として,  u,v  r,\theta を用いて表現してみましょう.
 z,w  e^{w}=z に代入して,
\begin{align}
e^{u+iv}&=re^{i\theta} \nonumber \\
\Leftrightarrow\quad e^{u}e^{iv} &= re^{i\theta} \nonumber
\end{align}
よって,
\begin{align}
e^{u}&= r \tag{1} \\
e^{iv}&=e^{i\theta} \tag{2}
\end{align}
(1)の両辺の自然対数を取ることで,
\begin{equation}
\log e^{u}=\log r \quad\Leftrightarrow \quad u=\log r \tag{ア}
\end{equation}
(2)は指数関数の周期性より,
\begin{align}
e^{iv}&=e^{i\theta}=e^{i(\theta+2n\pi)}\quad (n\mbox{は整数}) \nonumber \\
\therefore\quad v &= \theta = \theta+2n\pi \tag{イ}
\end{align}
よって(ア),(イ)より,  z=re^{i\theta} のとき

対数関数の定義
\begin{align}
w=\log z &= u+iv \nonumber \\
&= \log r +i(\theta +2n\pi) \nonumber
\end{align}

となることが分かりました. この式から, ある1つの複素数 z=re^{i\theta} に対して,  \log z は無限個の値を取りうることがわかります.このように, 1つの z に対して w が複数の値を取る関数を多価関数といい, この性質を多価性といいます.  w=\log z  w の取りうる値が無限に存在するので, 多価関数の中でも特に無限多価関数と呼びます.多価関数については, またあとで話します.
 具体例で計算してみましょう. \log (\sqrt{3}+i) の値を求めます. \sqrt{3}+i 極形式
\begin{align}
\sqrt{3}+i &= 2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}) \nonumber \\
&= 2e^{i\frac{\pi}{6}} \nonumber
\end{align}
と表せます.よって,
\begin{align}
\log (\sqrt{3}+i) &= \log (2) +i\left(\frac{\pi}{6}+2n\pi \right) \nonumber \\
&= \log (2) +i\pi\left(\frac{1}{6}+2n \right)\quad (n\mbox{は整数})
\end{align}
となります.

対数関数の主値


  \log z は無限個の値を取りますが,  z 偏角 \arg z の範囲を
\begin{equation}
-\pi<\arg z\le \pi \nonumber
\end{equation}
に制限すると \log z の値はある1つに定まります. この範囲に制限した \log z の値を特に主値と呼び, 記号では \mathrm{Log}\, z と書きます. 最初のLを大文字にしただけです.

対数法則


 指数関数に指数法則が成立するように, 対数関数にも対数法則が成立します. つまり,

対数法則
\begin{align}
\begin{cases}
\log z_{1}z_{2}&=\log z_{1}+\log z_{2} \\
\log\left(\dfrac{z_{1}}{z_{2}} \right)&=\log z_{1}-\log z_{2}
\end{cases}
\nonumber
\end{align}

という性質が複素数の範囲でも成立します.