Kiri's diary

きりねこNote

数学関連のことについてよく書きます

複素解析をざっとまとめるー2(複素数の基本理論その2)

目次

 

幾何的な視点から

複素数とは何か

 次に幾何的な視点から複素数を見てみましょう!
 数直線を使って実数の話をした, あるいはされた経験があると思います. そのとき, 実数を数直線上のある一点として考えました. これは実数を幾何的に捉えていると言えます.
 複素数 a+bi は,  a,b という2つの実数を変数として持っています. この a,b の値が決まれば複素数も1つに決まります. そこで, 数直線を2つ持ってきて複素数を平面幾何的に捉えます. これを複素平面と呼びます. 複素平面では, 横方向に実数 a の数直線, 縦方向に実数 b の数直線を持ってきて, 平面を作っています.  a,b が決まれば1つの複素数が決定できるので, 全ての複素数複素平面上のある1点と考えられます. この複素平面の概念に立脚するとき, 複素数全体の集合 \mathbb{C} 複素平面上の点全体の集合と考えられるのです.
 たとえば, 複素平面上で 1 ,  3i ,  2+2i は次の点です.

f:id:TeikaKiri:20180105231149p:plain

複素平面

 横方向の数直線が複素数の実部の値に対応しており, 縦方向の数直線は虚部の値に対応しています. それぞれの軸を実軸, 虚軸と呼びます. また実軸と虚軸の交点, つまり座標 (0,0) の点を原点と呼びます.
 複素平面上で実数とは実軸上の点, 虚数とは実軸を除く複素平面上の点, 純虚数とは虚軸上の点のことを指します.

 

複素数の定義
複素数とは複素平面上の点のことである.
特に,
  • 実軸上の点を実数
  • 実軸上ではない点を虚数
  • 虚軸上の点を虚数

という.

 

加法と減法

 複素数の加法と減法は複素平面上ではベクトルの加法と減法と同様のものとして考えることができます. 実は加法と減法に限らず, ここからしばらく(極座標を導入するまで)は複素数ベクトルと同じ性質を持つと考えた方が理解しやすいです. 本来なら加法と減法の次は乗法と除法について話したほうが良いのですが, 乗法と除法については極座標系を紹介した後の方が圧倒的に理解しやすいので, 一旦後回しにしますね.
 では加法と減法に行きましょう. といっても本当にベクトルと同じです. 複素平面上の複素数を, 原点を始点とするベクトルと考えましょう. たとえば, 複素数 A = a_{1}+ib_{1}  B=a_{2}+ib_{2} の和と差はそれぞれ次の図のようになります.

f:id:TeikaKiri:20180105231306p:plain

加法

f:id:TeikaKiri:20180105231640p:plain

減法

2つのベクトルを辺に持つ平行四辺形を考えればいいんでしたね.

 

加法と減法
複素平面上の複素数の加法と減法は, 複素数をそれぞれベクトルとみなしたときの加法と減法と同様である.
 -1 倍, 複素共役, 絶対値

 ある平面ベクトルを -1 したベクトルは, 元のベクトルと大きさが同じだが向きが反対のベクトルになりました. 複素数も同じです. またある複素数複素共役は, 虚部だけを -1 倍したものなので, 元のベクトルを実軸を対称軸として反対側に対称移動させたものになります.
 さらに, 複素平面上での複素数絶対値とは原点からの距離のことです. ベクトルの大きさが表すものと同じです. 次の絶対値,  -1 倍, 複素共役の対応を表した図はよくテキストに載っているものですね.

f:id:TeikaKiri:20180105231646p:plain

 -1 倍、複素共役、絶対値

 絶対値は原点からの距離ですので, 複素数 A = a+bi の絶対値はピタゴラスの定理より,
\begin{equation}
|A| = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \nonumber
\end{equation}
であることが幾何的にもわかりますね. そしてさらに複素数 A について,
\begin{align}
\mathrm{Re}(A) = \frac{1}{2}(A+\overline{A}) \nonumber \\
\mathrm{Im}(A) = \frac{1}{2}(A-\overline{A}) \nonumber
\end{align}
であることが次の図からも幾何的にわかるでしょう.

f:id:TeikaKiri:20180105231649p:plain

 \mathrm{Re}(A) = \frac{1}{2}(A+\overline{A})

f:id:TeikaKiri:20180105231652p:plain

 \mathrm{Im}(A) = \frac{1}{2}(A-\overline{A})
 -1 倍, 複素共役, 絶対値

 


極座標, オイラーの公式

 さて, 極座標を紹介しましょう. 極座標とは, 平面上の点の座標を《実軸の正の部分からの角度》と《原点からの距離》を使って三角関数を用いて表す座標系です.図で説明しましょう.

f:id:TeikaKiri:20180105231655p:plain

極座標

上の図で \cos\theta を考えると,
\begin{align}
\cos\theta &= \frac{a}{|A|} \nonumber \\
\therefore\quad a &=|A|\cos\theta \nonumber
\end{align}
また,  \sin\theta を考えると,
\begin{align}
\sin\theta &= \frac{b}{|A|} \nonumber \\
\therefore \quad b &=|A|\sin\theta \nonumber
\end{align}
がわかります. よって複素数 A は, 実軸の正の部分からの角度 \theta と原点からの距離 |A| を用いて,
\begin{align}
A &= a+ib \nonumber \\
&= |A|\cos\theta+i|A|\sin\theta \nonumber \\
&= |A|(\cos\theta+i\sin\theta) \nonumber
\end{align}
と表せます. 複素数をこのように表す座標系を極座標系と言います. 《実軸の正の部分からの角度 \theta 》と《原点からの距離 r 》で点の位置を表す座標系です. 複素数極形式と言ったりもします. 直交座標は見慣れていると思いますが, 極座標の具体的なイメージを図にしておきます.

f:id:TeikaKiri:20180105231637p:plain

極座標のイメージ

 原点を中心とする同心円がたくさん並んでいるイメージです.

 複素数極形式において, 《実軸の正の部分からの角度》のことを偏角(argument)と呼び, 複素数 A 偏角 \theta であるとき, これを記号で
\begin{equation}
\mathrm{arg}(A) = \theta \nonumber
\end{equation}
と書きます.
 そしてさらに, ここで複素数極座標を記述しやすくするオイラーの公式という式を定義として与えます.
\begin{equation}
e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta \nonumber
\end{equation}
 これがオイラーの公式です.  e 微分積分(それ以外の分野でも)で何度も出てきたネイピア数(自然対数の底)です. ネイピア数微分しても同じ値となる (\dfrac{d}{dx}e^{x} = e^{x}) 無理数でしたね. ネイピア数はこのあとの複素数の指数関数でも出てきます.
 さてオイラーの公式を用いて, 任意の複素数 A
\begin{equation}
A =|A|(\cos\theta+i\sin\theta)= |A|e^{i\theta} \nonumber
\end{equation}
の形で表せます. この形で表した場合も極形式と呼びます.

極座標
複素数極座標表示とは複素数を実軸の正の部分からの角度 \theta と原点からの距離を用いて表す方法である.
具体的には, 複素数 z=a+ib 極座標表示は
\begin{equation}
A = |A|(\cos \theta+i\sin\theta) \nonumber
\end{equation}
となる.実軸の正の部分からの角度を偏角といい, \arg(A) と表す.

 

オイラーの公式
ネイピア数について, 純虚数乗を次式で定義する.
\begin{equation}
e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta \nonumber
\end{equation}
この式をオイラーの公式と呼ぶ.
オイラーの公式を用いれば, 複素数極座標は次のようにも表せる.
\begin{equation}
A = |A|e^{i\theta} \nonumber
\end{equation}
乗法と除法


 極座標を導入したので複素数乗法と除法についても幾何的に考察できます. 加法と減法については複素数を平面上のベクトルと考えましたが、乗法と除法は点の移動として考えると理解しやすいです。
 2つの複素数 A,B 極形式
\begin{align}
A &= |A|(\cos\theta+i\sin\theta)=|A|e^{i\theta} \nonumber \\
B &= |B|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|B|e^{i\varphi} \nonumber
\end{align}
と表せるとき,
\begin{align}
AB &= |AB|(\cos(\theta+\varphi)+i\sin(\theta+\varphi))=|AB|e^{\theta+\varphi} \nonumber \\
\frac{A}{B} &= \left|\frac{A}{B}\right|(\cos(\theta-\varphi)+i\sin(\theta-\varphi))=\left|\frac{A}{B}\right|e^{\theta+\varphi} \nonumber
\end{align}
となります. すなわち, 乗法の場合には,

  • 絶対値は2つの絶対値の積
  • 偏角は2つの偏角の和

となり, 一方除法の場合には,

  • 絶対値は2つの絶対値の商
  • 偏角は2つの偏角の差

となるということです. これらを数式で表せば, 乗法の場合,
\begin{align}
|AB| &= |A||B| \nonumber \\
\mathrm{arg}(AB) &= \mathrm{arg}(A)+\mathrm{arg}(B) \nonumber
\end{align}
除法の場合,
\begin{align}
\left|\frac{A}{B}\right| &= \frac{|A|}{|B|} \nonumber \\
\mathrm{arg}\left(\frac{A}{B}\right) &= \mathrm{arg}(A)-\mathrm{arg}(B) \nonumber
\end{align}
ということです.
 確かめてみましょう.
\begin{align}
AB &= |A|(\cos\theta+i\sin\theta)|B|(\cos\varphi+i\sin\varphi) \nonumber \\
&= |A||B|(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\varphi+i\sin\varphi) \nonumber \\
&=|A||B|(\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi+i(\cos\theta\sin\varphi+\cos\varphi\sin\theta)) \nonumber \\
&=|AB|(\cos(\theta+\varphi)+i\sin(\theta+\varphi)) \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\frac{A}{B} &=\frac{|A|(\cos\theta+i\sin\theta)}{|B|(\cos\varphi+i\sin\varphi)} \nonumber \\
&=\frac{|A|}{|B|}\cdot \frac{(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\varphi-i\sin\varphi)}{(\cos\varphi+i\sin\varphi)(\cos\varphi-i\sin\varphi)} \nonumber \\
&=\left|\frac{A}{B}\right|\frac{\cos\theta\cos\varphi+\sin\theta\sin\varphi+i(\sin\theta\cos\varphi-\cos\theta\sin\varphi)}{\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi} \nonumber \\
&= \left|\frac{A}{B}\right|(\cos(\theta-\varphi)+i\sin(\theta-\varphi)) \nonumber
\end{align}
ほらね. ここでは三角関数の加法定理
\begin{align}
\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta \nonumber \\
\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta \nonumber
\end{align}
を用いています. 複素数同士の乗法と除法を複素平面上で図示すると次の図のようになります.

f:id:TeikaKiri:20180105231658p:plain

乗法

f:id:TeikaKiri:20180105231631p:plain

除法

乗法と除法
複素数 A=|A|(\cos\theta+i\sin\theta)=|A|e^{i\theta}  B = |B|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|B|e^{i\varphi} の乗法と除法はそれぞれ、
\begin{align}
AB &= |AB|(\cos(\theta+\varphi)+i\sin(\theta+\varphi))=|AB|e^{\theta+\varphi} \nonumber \\
\frac{A}{B} &= \left|\frac{A}{B}\right|(\cos(\theta-\varphi)+i\sin(\theta-\varphi))=\left|\frac{A}{B}\right|e^{\theta+\varphi} \nonumber
\end{align}
となる. 絶対値と偏角に分けると,
乗法の場合,
\begin{align}
|AB| &= |A||B| \nonumber \\
\mathrm{arg}(AB) &= \mathrm{arg}(A)+\mathrm{arg}(B) \nonumber
\end{align}

除法の場合,

\begin{align}
\left|\frac{A}{B}\right| &= \frac{|A|}{|B|} \nonumber \\
\mathrm{arg}\left(\frac{A}{B}\right) &= \mathrm{arg}(A)-\mathrm{arg}(B) \nonumber
\end{align}
となる.
\end{align}

 

変換

 絶対値は, 2つの複素数の積, もしくは商になり, 偏角は2つの複素数の和, もしくは差になる, ということが図からわかるでしょうか. 乗法と除法の説明をするときに, 《平面上の点の移動》と考えるといいました. この点の移動のことを変換といいます. 変換という観点からみたとき, ある複素数 z 複素数 A = re^{i\theta} を掛けることは,

  •  z と原点からの距離を r 倍し, 原点を中心として反時計まわりに \theta だけ移動させる

ことだと解釈できます. 同様に z  A で割ることは,

  •  z と原点からの距離を \dfrac{1}{r} 倍し, 原点を中心として時計まわりに \theta だけ移動させる

ことだといえます.