目次
複素数の基本理論
複素解析の話をはじめましょう!
複素数は代数的な視点と幾何的な視点の2つの視点から捉えることができます. この2つの視点の両方から複素数を紹介しようと思います. 最初に代数的な視点からいきましょう!
代数的な視点から
複素数の定義
まず複素数を定義しようと思います. ですが, 複素数を定義するには虚数単位を定義しなければなりませんね. 虚数単位の定義を示します.
これが虚数単位です. と定義することも多いですね. ですが, この定義だとはの2つの値をとれてしまいます. 実際, 虚数単位はとのどちらで定義しても数学的には問題はありません. しかしこれでは定義が曖昧に感じるので, 私の話ではと定義しておきます.
慣習として, 複素数全体の集合のことをで表します. このはComplex numberの頭文字です.
続いて, 実数, 虚数, 純虚数も定義しておきます.
具体例を出します。たとえば、やは実数です。またや は虚数です。虚数の中でもがであるなどは特に純虚数と呼ぶのです。
実部と虚部
複素数の前半のの部分は実部(real part)と呼びます. 実数の部分だから実部です. そのままですね.
一方, 後半のの部分は虚部(imaginary part)と呼びます. これもそのまま, 虚数の部分だからです.
ある複素数の実部と虚部を記号でそれぞれ, と書きます. 本や先生によっては実部を, 虚部をという記号で表していることもありますね. この小難しくてかっこいい記号はフラクトゥールという昔のドイツで使われていた文字です. かっこいいですが書きにくいので私の話ではと書きましょう.
複素数の同値関係と四則演算
次に複素数の同値関係について定義しておきます. 簡単です. 2つの複素数の実部と虚部がそれぞれ等しいなら2つの複素数は等しい, すなわちといえます.
複素数の同値関係
2つの複素数が等しいとは, との実部と虚部がそれぞれ等しいことをいう.
すなわち
\begin{align}
&\mathrm{Re}(A) = \mathrm{Re}(B)\quad \mbox{かつ}\quad \mathrm{Im}(A) = \mathrm{Im}(B) \nonumber \\
&\Leftrightarrow A = B \nonumber
\end{align}
加えて、複素数には同値関係は存在するが, 大小関係は存在しないことを覚えておきましょう。
次に複素数の四則演算を定義します. といっても実数の場合とあんまり変わりません. 複素数にも基本的な演算は定義できますよ, ぐらいの意味だと思いましょう.
まず, 2つの複素数,a_{2}+ib_{2} ]についての加法と減法, すなわち和と差は次のように定義します.
\begin{align}
(a_{1}+ib_{1})+(a_{2}+ib_{2}) = (a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}) \nonumber \\
(a_{1}+ib_{1})-(a_{2}+ib_{2}) = (a_{1}+a_{2})-i(b_{1}+b_{2}) \nonumber
\end{align}
実部と虚部ごとに足したり引いたりすればオッケーです.
次に乗法, すなわち積は次のように定義します.
\begin{align}
(a_{1}+ib_{1})(a_{2}+ib_{2}) &=a_{1}(a_{2}+ib_{2})+ib_{1}(a_{2}+ib_{2}) \nonumber \\
&=a_{1}a_{2}+ia_{1}b_{2}+ib_{1}a_{2}+i^{2}b_{1}b_{2} \nonumber \\
&=a_{1}a_{2}+ia_{1}b_{2}+ib_{1}a_{2}-b_{1}b_{2} \quad(i^2 = -1)\nonumber \\
&=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}) \nonumber
\end{align}
最後の行で実部と虚部に分けています.
少しややこしいように見えるかもしれませんが, 今までやってきた実方程式での計算
\begin{equation}
(x+1)(x+2)=x^{2}+3x+2 \nonumber
\end{equation}
と同じ計算手順です. 違うのは, 最後に実部と虚部に分けることだけですね.
そして除法, すなわち商は次のように定義します.
\begin{align}
(a_{1}+ib_{1})\div (a_{2}+ib_{2}) &= \frac{a_{1}+ib_{1}}{a_{2}+ib_{2}} \nonumber \\
&=\frac{a_{1}+ib_{1}}{a_{2}+ib_{2}}\cdot \frac{a_{2}-ib_{2}}{a_{2}-ib_{2}}\nonumber \\
&= \frac{(a_{1}+ib_{1})(a_{2}-ib_{2})}{(a_{2}+ib_{2})(a_{2}-ib_{2}) } \nonumber \\
&= \frac{a_{1}a_{2}-ia_{1}b_{2}+ib_{1}a_{2}-i^{2}b_{1}b_{2}}{(a_{2})^{2}-ia_{2}b_{2}+ib_{2}a_{2}-i^{2}(b_{2})^{2}} \nonumber \\
&= \frac{(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+i(-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}}\quad(i^{2} = -1) \nonumber \\
&= \frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}}+i\frac{-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}} \nonumber
\end{align}
文字ばっかりだと頭が痛くなっちゃいますね…. 除法での注意として, で割ってはいけないというのは, 複素数でも同じです. 複素数でになるのは, 実部も虚部ものとき, すなわちです. 上の計算での条件はということになりますね.
\begin{align}
(a_{1}+ib_{1})+(a_{2}+ib_{2}) &= (a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}) \nonumber \\
(a_{1}+ib_{1})-(a_{2}+ib_{2}) &= (a_{1}+a_{2})-i(b_{1}+b_{2}) \nonumber \\
(a_{1}+ib_{1})(a_{2}+ib_{2}) &= (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}) \nonumber \\
(a_{1}+ib_{1})\div (a_{2}+ib_{2}) &= \frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}}+i\frac{-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}} \nonumber
\end{align}
複素数の共役
次に複素共役を紹介しましょう. これは簡単な割には便利です.
ある複素数の複素共役(complex conjugate)とは, 虚部を倍した複素数のことです. すなわち, ある複素数の複素共役はとなります. の複素共役を, 記号ではと書きます.
例を出しましょう. の複素共役はです. の複素共役はとなります.
複素数の《複素共役の複素共役》はになることはわかりますか. 虚部を倍し, さらにもう一度虚部を倍するのですから, もとの複素数と同じになります. 記号で書けばとなります.
複素共役を使うと, 実部と虚部を簡単に表すことができます. 複素数をとすると, 実部と虚部はそれぞれ,
\begin{align}
\mathrm{Re}(A) = \frac{1}{2}(A + \overline{A}) \nonumber \\
\mathrm{Im}(A) = \frac{1}{2i}(A - \overline{A}) \nonumber
\end{align}
と表せます. 確かめてみましょうか.
\begin{align}
\mathrm{Re}(A) &= \frac{1}{2}(A + \overline{A}) \nonumber \\
&= \frac{1}{2}(a+bi+a-bi) \nonumber \\
&= \frac{1}{2}(2a) = a\ \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\mathrm{Im}(A) &= \frac{1}{2i}(A - \overline{A}) \nonumber \\
&= \frac{1}{2i}(a+bi-(a-bi)) \nonumber \\
&= \frac{1}{2i}(2bi) = b) \nonumber
\end{align}
ほらね.
ある複素数の虚部を倍した複素数をの複素共役という. 複素数の実部と虚部はそれぞれ,
\begin{align}
\mathrm{Re}(A) = \frac{1}{2}(A + \overline{A}) \nonumber \\
\mathrm{Im}(A) = \frac{1}{2i}(A - \overline{A}) \nonumber
\end{align}
と表せる.
複素共役の基本的な性質として次が成立します.
、を複素数として,
\begin{align}
\overline{(A+B)} &= \overline{A}+\overline{B} \nonumber \\
\overline{(A-B)} &= \overline{A}-\overline{B} \nonumber \\
\overline{AB} &= \overline{A}\cdot\overline{B} \nonumber \\
\overline{\left(\frac{A}{B}\right)} &= \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \nonumber
\end{align}
となります. 確かめてみましょう. , とすると,
\begin{align}
\overline{(A+B)} &= \overline{(a_{1}+ib_{1}+a_{2}+ib_{2})} \nonumber \\
&= \overline{(a_{1}+a_{2}+i(b_{1}+b_{2}))} \nonumber \\
&= a_{1}+a_{2}-i(b_{1}+b_{2}) \nonumber \\
&= a_{1}-ib_{1}+a_{2}-ib_{2} \nonumber \\
&= \overline{A}+\overline{B} \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\overline{(A-B)} &= (\overline{a_{1}+ib_{1}-(a_{2}+ib_{2}))} \nonumber \\
&= \overline{(a_{1}-a_{2}+i(b_{1}-b_{2}))} \nonumber \\
&= a_{1}-a_{2}-i(b_{1}-b_{2}) \nonumber \\
&= a_{1}-ib_{1}-(a_{2}-ib_{2}) \nonumber \\
&= \overline{A}+\overline{B} \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\overline{AB} &= \overline{(a_{1}+ib_{1})(a_{2}+ib_{2})}\nonumber \\
&=\overline{a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})} \nonumber \\
&= a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}) \nonumber \\
&= (a_{1}-ib_{1})(a_{2}-ib_{2}) \nonumber \\
&= \overline{A}\cdot\overline{B} \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\overline{\left(\frac{A}{B}\right)} &= \overline{\left(\frac{a_{1}+ib_{1}}{a_{2}+ib_{2}}\right)} \nonumber \\
&= \overline{\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}}+i\frac{-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}} }\nonumber \\
&= \frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}}-i\frac{-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}} \nonumber \\
&= \frac{(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}} \nonumber \\
&= \frac{a_{1}a_{2}+ia_{1}b_{2}-ib_{1}a_{2}-i^{2}b_{1}b_{2}}{(a_{2})^{2}-ia_{2}b_{2}+ib_{2}a_{2}-i^{2}(b_{2})^{2}} \nonumber \\
&= \frac{(a_{1}-ib_{1})(a_{2}+ib_{2})}{(a_{2}-ib_{2})(a_{2}+ib_{2}) } \nonumber \\
&= \frac{a_{1}-ib_{1}}{a_{2}-ib_{2}} = \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \nonumber
\end{align}
ほらね.
さらに複素数が実数,. そして純虚数になる条件は次で表せます.
が純虚数
複素数の絶対値
次に複素数の絶対値です. ある複素数の絶対値とは, 次のような数のことです.
\begin{equation}
\sqrt{a^{2}+b^{2}} \nonumber
\end{equation}
記号ではと書きます.
はどちらも実数なので, となります. よって, , すなわち絶対値は必ず以上の実数になります.
例を出しましょう. たとえば, の絶対値は
\begin{align}
\sqrt{5^{2}+(-2)^{2}} &= \sqrt{25+4} \nonumber \\
&= \sqrt{29} \nonumber
\end{align}
となる. 実数は複素数に含まれるから, 実数の絶対値もこの式で導けます. たとえばの絶対値は,
\begin{align}
\sqrt{(-3)^{2}}&= \sqrt{9} \nonumber \\
&= 3 \nonumber
\end{align}
となります. 実数は複素数の一部なんだから, 複素数の式が実数の範囲でも成立するのは当然だと思いますか?残念ですがそうはいきません. 今のところはまだ大丈夫ですが, 近いうちに《複素数では成立するが, 実数では成立しない》という数学的性質が山ほど出てきますよ.
絶対値も複素共役を用いれば簡単に書け,
\begin{equation}
|A| = \sqrt{A\overline{A}} \nonumber
\end{equation}
となります。確かめてみましょう。
\begin{align}
\sqrt{A\overline{A}} &=\sqrt{(a+bi)(a-bi)} \nonumber \\
&=\sqrt{a^2-(bi)^2} =\sqrt{a^2+b^2} \nonumber
\end{align}
ほらね.
の両辺を2乗して, がわかります. この式から2つの複素数について, 次がわかります.
\begin{align}
|AB|^{2} &= AB\overline{AB} \nonumber \\
&= AB\overline{A}\overline{B} \nonumber \\
&= A\overline{A}B\overline{B} \nonumber \\
&= |A|^{2}|B|^{2} \nonumber
\end{align}
これより,
\begin{equation}
|AB| = |A||B| \nonumber
\end{equation}
がわかります.
絶対値
複素数について、次式で得られる数をの絶対値といい、で表す。
\begin{equation}
|A| = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \nonumber
\end{equation}