Kiri's diary

きりねこNote

数学関連のことについてよく書きます

複素解析をざっとまとめるー1(複素数の基本理論その1)

目次

複素数の基本理論


 複素解析の話をはじめましょう!
 複素数は代数的な視点と幾何的な視点の2つの視点から捉えることができます. この2つの視点の両方から複素数を紹介しようと思います. 最初に代数的な視点からいきましょう!


代数的な視点から


複素数の定義


 まず複素数を定義しようと思います. ですが, 複素数を定義するには虚数単位を定義しなければなりませんね. 虚数単位の定義を示します.

虚数単位
次式を満たす数 i虚数単位と呼ぶ.
\begin{equation}
i = \sqrt{-1} \nonumber
\end{equation}

 これが虚数単位です.  i^{2} = -1 と定義することも多いですね. ですが, この定義だと i  i = \pm\sqrt{-1} の2つの値をとれてしまいます. 実際, 虚数単位は \sqrt{-1}  -\sqrt{-1} のどちらで定義しても数学的には問題はありません. しかしこれでは定義が曖昧に感じるので, 私の話では i = \sqrt{-1} と定義しておきます.

 さぁ, 虚数単位を定義したので, 複素数を定義できます!

複素数
2つの実数 a.b 虚数単位 i を用いて、次式で表せる数を複素数と呼ぶ。
\begin{equation}
a+bi \nonumber
\end{equation}

慣習として, 複素数全体の集合のことを \mathbb{C} で表します. この \mathbb{C} はComplex numberの頭文字です.
 続いて, 実数, 虚数, 純虚数も定義しておきます.

実数と虚数
複素数 a+bi で表せる数のうち、
と呼ぶ。

 具体例を出します。たとえば、 2  5 は実数です。また 1+2i  5i 虚数です。虚数の中でも a  0 である 5i などは特に純虚数と呼ぶのです。


実部と虚部

 複素数 a+bi の前半の a の部分は実部(real part)と呼びます. 実数の部分だから実部です. そのままですね.

 一方, 後半の b の部分は虚部(imaginary part)と呼びます. これもそのまま, 虚数の部分だからです.

 ある複素数 A の実部と虚部を記号でそれぞれ \mathrm{Re}(A) ,  \mathrm{Im}(A) と書きます. 本や先生によっては実部を \mathfrak{R}(A) , 虚部を \mathfrak{I}(A) という記号で表していることもありますね. この小難しくてかっこいい記号はフラクトゥールという昔のドイツで使われていた文字です. かっこいいですが書きにくいので私の話では \mathrm{Re}(A), \mathrm{Im}(A) と書きましょう.

実部と虚部
ある複素数 A = a+bi の実数 a 複素数 A 実部, 実数 b 複素数 A 虚部と呼ぶ.実部と虚部はそれぞれ記号で \mathrm{Re}(A) ,  \mathrm{Im}(A) と表す.

 

複素数の同値関係と四則演算

 次に複素数の同値関係について定義しておきます. 簡単です. 2つの複素数 A,B の実部と虚部がそれぞれ等しいなら2つの複素数は等しい, すなわち A =B といえます.

複素数の同値関係
2つの複素数 A,B が等しいとは,  A  B の実部と虚部がそれぞれ等しいことをいう.
すなわち
\begin{align}
&\mathrm{Re}(A) = \mathrm{Re}(B)\quad \mbox{かつ}\quad \mathrm{Im}(A) = \mathrm{Im}(B) \nonumber \\
&\Leftrightarrow A = B \nonumber
\end{align}

 加えて、複素数には同値関係は存在するが, 大小関係は存在しないことを覚えておきましょう。

 次に複素数の四則演算を定義します. といっても実数の場合とあんまり変わりません. 複素数にも基本的な演算は定義できますよ, ぐらいの意味だと思いましょう.

 まず, 2つの複素数 a_{1}+ib_{1} , a_{2}+ib_{2} ]についての加法と減法, すなわち和と差は次のように定義します.

\begin{align}
(a_{1}+ib_{1})+(a_{2}+ib_{2}) = (a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}) \nonumber \\
(a_{1}+ib_{1})-(a_{2}+ib_{2}) = (a_{1}+a_{2})-i(b_{1}+b_{2}) \nonumber
\end{align}

 実部と虚部ごとに足したり引いたりすればオッケーです.

 次に乗法, すなわち積は次のように定義します.

\begin{align}
(a_{1}+ib_{1})(a_{2}+ib_{2}) &=a_{1}(a_{2}+ib_{2})+ib_{1}(a_{2}+ib_{2}) \nonumber \\
&=a_{1}a_{2}+ia_{1}b_{2}+ib_{1}a_{2}+i^{2}b_{1}b_{2} \nonumber \\
&=a_{1}a_{2}+ia_{1}b_{2}+ib_{1}a_{2}-b_{1}b_{2} \quad(i^2 = -1)\nonumber \\
&=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}) \nonumber
\end{align}

 

 最後の行で実部と虚部に分けています.

 少しややこしいように見えるかもしれませんが, 今までやってきた実方程式での計算

\begin{equation}
(x+1)(x+2)=x^{2}+3x+2 \nonumber
\end{equation}

と同じ計算手順です. 違うのは, 最後に実部と虚部に分けることだけですね.

 そして除法, すなわち商は次のように定義します.

\begin{align}
(a_{1}+ib_{1})\div (a_{2}+ib_{2}) &= \frac{a_{1}+ib_{1}}{a_{2}+ib_{2}} \nonumber \\
&=\frac{a_{1}+ib_{1}}{a_{2}+ib_{2}}\cdot \frac{a_{2}-ib_{2}}{a_{2}-ib_{2}}\nonumber \\
&= \frac{(a_{1}+ib_{1})(a_{2}-ib_{2})}{(a_{2}+ib_{2})(a_{2}-ib_{2}) } \nonumber \\
&= \frac{a_{1}a_{2}-ia_{1}b_{2}+ib_{1}a_{2}-i^{2}b_{1}b_{2}}{(a_{2})^{2}-ia_{2}b_{2}+ib_{2}a_{2}-i^{2}(b_{2})^{2}} \nonumber \\
&= \frac{(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+i(-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}}\quad(i^{2} = -1) \nonumber \\
&= \frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}}+i\frac{-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}} \nonumber
\end{align}

 文字ばっかりだと頭が痛くなっちゃいますね…. 除法での注意として,  0 で割ってはいけないというのは, 複素数でも同じです. 複素数 0 になるのは, 実部も虚部も 0 のとき, すなわち 0+0i = 0 です. 上の計算での条件は a_{2}+ib_{2}\neq 0 ということになりますね.

複素数の四則演算
\begin{align}
 (a_{1}+ib_{1})+(a_{2}+ib_{2}) &= (a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}) \nonumber \\
 (a_{1}+ib_{1})-(a_{2}+ib_{2}) &= (a_{1}+a_{2})-i(b_{1}+b_{2}) \nonumber \\
 (a_{1}+ib_{1})(a_{2}+ib_{2}) &= (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}) \nonumber \\
 (a_{1}+ib_{1})\div (a_{2}+ib_{2}) &= \frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}}+i\frac{-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}} \nonumber
\end{align}

 

複素数の共役

 

 次に複素共役を紹介しましょう. これは簡単な割には便利です.

 ある複素数 A 複素共役(complex conjugate)とは, 虚部を -1 倍した複素数のことです. すなわち, ある複素数 A = a+bi 複素共役 a-bi となります.  A 複素共役を, 記号では \overline{A} と書きます.

 例を出しましょう.  2+4i 複素共役 2-4i です.  5-\dfrac{1}{2}i 複素共役 5+\dfrac{1}{2}i となります.

 複素数 A の《複素共役複素共役》は A になることはわかりますか. 虚部を -1 倍し, さらにもう一度虚部を -1 倍するのですから, もとの複素数と同じになります. 記号で書けば \overline{\overline{A}}=A となります.

 複素共役を使うと, 実部と虚部を簡単に表すことができます. 複素数 A  A = a+bi とすると, 実部 \mathrm{Re}(A) と虚部 \mathrm{Im}(A) はそれぞれ,

 

\begin{align}
\mathrm{Re}(A) = \frac{1}{2}(A + \overline{A}) \nonumber \\
\mathrm{Im}(A) = \frac{1}{2i}(A - \overline{A}) \nonumber
\end{align}

と表せます. 確かめてみましょうか.

\begin{align}
\mathrm{Re}(A) &= \frac{1}{2}(A + \overline{A}) \nonumber \\
&= \frac{1}{2}(a+bi+a-bi) \nonumber \\
&= \frac{1}{2}(2a) = a\ \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\mathrm{Im}(A) &= \frac{1}{2i}(A - \overline{A}) \nonumber \\
&= \frac{1}{2i}(a+bi-(a-bi)) \nonumber \\
&= \frac{1}{2i}(2bi) = b) \nonumber
\end{align}

ほらね.

複素共役
ある複素数 A の虚部を -1 倍した複素数 \overline{A}  A 複素共役という. 複素数 A の実部と虚部はそれぞれ,
\begin{align}
\mathrm{Re}(A) = \frac{1}{2}(A + \overline{A}) \nonumber \\
\mathrm{Im}(A) = \frac{1}{2i}(A - \overline{A}) \nonumber
\end{align}
と表せる.

 複素共役の基本的な性質として次が成立します.
 A  B 複素数として,
\begin{align}
\overline{(A+B)} &= \overline{A}+\overline{B} \nonumber \\
\overline{(A-B)} &= \overline{A}-\overline{B} \nonumber \\
\overline{AB} &= \overline{A}\cdot\overline{B} \nonumber \\
\overline{\left(\frac{A}{B}\right)} &= \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \nonumber
\end{align}
となります. 確かめてみましょう.  A = a_{1}+ib_{1} ,  B = a_{2}+ib_{2} とすると,
\begin{align}
\overline{(A+B)} &= \overline{(a_{1}+ib_{1}+a_{2}+ib_{2})} \nonumber \\
&= \overline{(a_{1}+a_{2}+i(b_{1}+b_{2}))} \nonumber \\
&= a_{1}+a_{2}-i(b_{1}+b_{2}) \nonumber \\
&= a_{1}-ib_{1}+a_{2}-ib_{2} \nonumber \\
&= \overline{A}+\overline{B} \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\overline{(A-B)} &= (\overline{a_{1}+ib_{1}-(a_{2}+ib_{2}))} \nonumber \\
&= \overline{(a_{1}-a_{2}+i(b_{1}-b_{2}))} \nonumber \\
&= a_{1}-a_{2}-i(b_{1}-b_{2}) \nonumber \\
&= a_{1}-ib_{1}-(a_{2}-ib_{2}) \nonumber \\
&= \overline{A}+\overline{B} \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\overline{AB} &= \overline{(a_{1}+ib_{1})(a_{2}+ib_{2})}\nonumber \\
&=\overline{a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})} \nonumber \\
&= a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}) \nonumber \\
&= (a_{1}-ib_{1})(a_{2}-ib_{2}) \nonumber \\
&= \overline{A}\cdot\overline{B} \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\overline{\left(\frac{A}{B}\right)} &= \overline{\left(\frac{a_{1}+ib_{1}}{a_{2}+ib_{2}}\right)} \nonumber \\
&= \overline{\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}}+i\frac{-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}} }\nonumber \\
&= \frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}}-i\frac{-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}} \nonumber \\
&= \frac{(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}{(a_{2})^{2}+(b_{2})^{2}} \nonumber \\
&= \frac{a_{1}a_{2}+ia_{1}b_{2}-ib_{1}a_{2}-i^{2}b_{1}b_{2}}{(a_{2})^{2}-ia_{2}b_{2}+ib_{2}a_{2}-i^{2}(b_{2})^{2}} \nonumber \\
&= \frac{(a_{1}-ib_{1})(a_{2}+ib_{2})}{(a_{2}-ib_{2})(a_{2}+ib_{2}) } \nonumber \\
&= \frac{a_{1}-ib_{1}}{a_{2}-ib_{2}} = \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \nonumber
\end{align}
ほらね.
 さらに複素数 A が実数,. そして純虚数になる条件は次で表せます.

 A が実数 \quad \Leftrightarrow \quad A = \overline{A}
 A が純虚数 \quad \Leftrightarrow \quad A = -\overline{A}

複素数の基本的性質
複素数 A 複素共役 \overline{A} について,. 次が成立する。.

複素数の絶対値


 次に複素数絶対値です. ある複素数 A = a+bi の絶対値とは, 次のような数のことです.
\begin{equation}
\sqrt{a^{2}+b^{2}} \nonumber
\end{equation}
記号では |A| と書きます.
  a,b はどちらも実数なので,  a^2\ge 0,b^2\ge 0 となります. よって,  a^{2}+b^{2}\ge 0 , すなわち絶対値は必ず 0 以上の実数になります.
 例を出しましょう. たとえば,  5-2i の絶対値は
\begin{align}
\sqrt{5^{2}+(-2)^{2}} &= \sqrt{25+4} \nonumber \\
&= \sqrt{29} \nonumber
\end{align}
となる. 実数は複素数に含まれるから, 実数の絶対値もこの式で導けます. たとえば -3 の絶対値は,
\begin{align}
\sqrt{(-3)^{2}}&= \sqrt{9} \nonumber \\
&= 3 \nonumber
\end{align}
となります. 実数は複素数の一部なんだから, 複素数の式が実数の範囲でも成立するのは当然だと思いますか?残念ですがそうはいきません. 今のところはまだ大丈夫ですが, 近いうちに《複素数では成立するが, 実数では成立しない》という数学的性質が山ほど出てきますよ.
 絶対値も複素共役を用いれば簡単に書け,
\begin{equation}
|A| = \sqrt{A\overline{A}} \nonumber
\end{equation}
となります。確かめてみましょう。
\begin{align}
\sqrt{A\overline{A}} &=\sqrt{(a+bi)(a-bi)} \nonumber \\
&=\sqrt{a^2-(bi)^2} =\sqrt{a^2+b^2} \nonumber
\end{align}
ほらね.
 |A| = \sqrt{A\overline{A}} の両辺を2乗して,  |A|^{2} = A\overline{A} がわかります. この式から2つの複素数 A,B について, 次がわかります.
\begin{align}
|AB|^{2} &= AB\overline{AB} \nonumber \\
&= AB\overline{A}\overline{B} \nonumber \\
&= A\overline{A}B\overline{B} \nonumber \\
&= |A|^{2}|B|^{2} \nonumber
\end{align}
これより,
\begin{equation}
|AB| = |A||B| \nonumber
\end{equation}
がわかります.

絶対値
複素数 A=a+bi について、次式で得られる数を A 絶対値といい、 |A| で表す。
\begin{equation}
|A| = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \nonumber
\end{equation}