Springer無料公開テキストのダウンロード方法とタイトルまとめ

Springerの公式が、新型コロナウィルス感染症の発生下における利用者への支援のためにSpringer Natureの電子書籍のうち400点以上のテキストを無料で公開しています。無料公開の情報は多少流れてきますが、実際の文献のダウンロード方法に関する情報が少ないなと感じたので手順をまとめておきます。(そんなに複雑ではありません。)

　まず次のリンクのページに飛び、「タイトルリストをダウンロード」というところを押すと、無料公開しているテキストのタイトル一覧がエクセルファイルでダウンロードできます。

https://www.springernature.com/jp/campaign/library_textbook

　エクセルファイルを開くと、タイトルや著者や出版年などの情報が一覧で出てきます。ですがそのままだと分野などがすべてごちゃ混ぜで探しづらいので、エクセルの編集を有効にしてから、L列の一番上の"English Package Name"と書いてあるところの右の下三角を押して"Mathematics and Statistics"にのみチェックを入れると数学関連のタイトルだけ抽出できます。
　気になるテキストを見つけたら、エクセルのS列にOpenURLが載っているのでそのURLをコピペしてブラウザで開くとテキストがダウンロードできます。

公開されているテキストのタイトルを分野別に分けておきます。

・代数
"Linear Algebra Done Right", Sheldon Axler
"Linear Algebra" , Jörg Liesen, Volker Mehrmann ,
"Algebra",Serge Lang
"Abstract Algebra" , Gregory T. Lee
"Applied Linear Algebra", Peter J. Olver, Chehrzad Shakiban
"Representation Theory", William Fulton, Joe Harris (リー代数の表現論ぽい)

・解析
"Time Series Analysis",Jonathan D. Cryer, Kung-Sik Chan , 
"Introduction to Partial Differential Equations",David Borthwick, 
"Introduction to Partial Differential Equations",Peter J. Olver, 
"Classical Fourier Analysis",Loukas Grafakos, 
"Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus ",Jean-François Le Gall, 
"Probability",Jim Pitman, 
"Elementary Analysis",Kenneth A. Ross, 
"Probability Theory", Alexandr A. Borovkov, 
"Differential Equations and Their Applications",Martin Braun, 
"Partial Differential Equations",Jürgen Jost, 
"Understanding Analysis",Stephen Abbott, 
"Ordinary Differential Equations",William A. Adkins, Mark G. Davidson, 
"Applied Partial Differential Equations", J. David Logan, 
"A Modern Introduction to Probability and Statistics", F.M. Dekking, C. Kraaikamp, H.P. Lopuhaä, L.E. Meester, 
"Complex Analysis", Joseph Bak, Donald J. Newman, 
"Calculus With Applications", Peter D. Lax, Maria Shea Terrell, 
"Real Analysis", Miklós Laczkovich, Vera T. Sósc, 
"Probability Theory", Achim Klenke, 

・幾何
"Introduction to Smooth Manifolds", John Lee, 
"Multivariate Calculus and Geometry",Seán Dineen, 

・コンピュータサイエンス関連
"Numerical Optimization",Jorge Nocedal, Stephen Wright, 
"The Elements of Statistical Learning",Trevor Hastie, Robert Tibshirani, Jerome Friedman, 
"Methods of Mathematical Modelling",Thomas Witelski, Mark Bowen, 
"Introduction to Statistics and Data Analysis ", Christian Heumann, Michael Schomaker, Shalabh, 
"Modeling Life", Alan Garfinkel, Jane Shevtsov, Yina Guo, 
"Business Statistics for Competitive Advantage with Excel 2016 ",Cynthia Fraser, 
"A Primer on Scientific Programming with Python",Hans Petter Langtangen, 
"Statistical Analysis and Data Display",Richard M. Heiberger, Burt Holland, 
"Statistics and Data Analysis for Financial Engineering",David Ruppert, David S. Matteson, 
"Bayesian and Frequentist Regression Methods",Jon Wakefield, 
"Introduction to Time Series and Forecasting",Peter J. Brockwell, Richard A. Davis, 
"Understanding Statistics Using R", Randall Schumacker, Sara Tomek, 
"An Introduction to Statistical Learning", Gareth James, Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani, 
"Statistical Learning from a Regression Perspective", Richard A. Berk, 
"Regression Modeling Strategies", Frank E. Harrell , Jr., 
"Applied Predictive Modeling", Max Kuhn, Kjell Johnson, 
"Bayesian Essentials with R", Jean-Michel Marin, Christian P. Robert, 
"Introductory Statistics with R",Peter Dalgaard, 
"Introductory Time Series with R", Paul S.P. Cowpertwait, Andrew V. Metcalfe, 
"A Beginner's Guide to R",Alain Zuur, Elena N. Ieno, Erik Meesters, 

・その他
"All of Statistics",Larry Wasserman, 
"Discrete Mathematics",László Lovász, József Pelikán, Katalin Vesztergombi, 
"Reading, Writing, and Proving",Ulrich Daepp, Pamela Gorkin, 
"Quantum Theory for Mathematicians",Brian C. Hall, 
"Design and Analysis of Experiments",Angela Dean, Daniel Voss, Danel Draguljić, 
"Applied Multivariate Statistical Analysis",Wolfgang Karl Härdle, Léopold Simar, 
"Survival Analysis", David G. Kleinbaum, Mitchel Klein, 
"Applied Quantitative Finance", Wolfgang Karl Härdle, Cathy Yi-Hsuan Chen, Ludger Overbeck, 
"Fundamentals of Clinical Trials", Lawrence M. Friedman, Curt D. Furberg, David L. DeMets, David M. Reboussin, Christopher B. Granger, 
"Proofs from THE BOOK", Martin Aigner, Günter M. Ziegler, 
"A Pythagorean Introduction to Number Theory", Ramin Takloo-Bighash, 
"LaTeX in 24 Hours", Dilip Datta, 
"Computational Geometry", Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars, 

マクロ経済学Ⅰ期末試験の解答

かいとうだ。

目次

問題

　以下の問いにすべて答えよ。また計算の過程がわかるように解説をしながら解答せよ。計算のプロセスおよび解説を書いていない場合は0点とする。(試験時間60分)

[1] マクロ経済学の誕生とされる、1936年にイギリス人経済学者によって著された書物の書名と著者名を述べよ。

[2] ある国の経済が、以下のモデルにより与えられている。
\begin{align}
Y =C + I+ G\nonumber \\
C = 10+0.8Y \nonumber \\
I = 60 - 1000r\nonumber \\
L = 50 + 0.5Y-1000r\nonumber \\
\frac{M}{P} = 240 \nonumber
\end{align}
いま、景気拡大のため、政府支出\(G\)を\(20\)兆円から\(34\)兆円へと増加させた場合、民間投資\(I\)はクラウディングアウトによりどれだけ減少すると予想されるか。

[3] 次の経済モデルを考える。
\begin{align}
I = 40 - 5r \nonumber \\
S = -15 + 0.2Y \nonumber \\
M = 95 \nonumber \\
L = 85 + 0.2Y-10r \nonumber
\end{align}
ここで、\(I\)は民間投資、\(r\)は利子率、\(S\)は貯蓄、\(Y\)は所得、\(M. L \)はそれぞれ貨幣供給と貨幣需要である。
(1)IS曲線を求めよ。
(2)LM曲線を求めよ。
(3)均衡での所得と利子率を求めよ。

[4] ある国のマクロ経済が、次のモデルで示されるとする。
\begin{align}
Y = C+I+G \nonumber \\
C = 40+0.7(Y-T) \nonumber \\
I = 80-6r \nonumber \\
T = 0.2Y \nonumber \\
L = 100 + 0.4Y-10r \nonumber \\
\frac{M}{P} = 200\nonumber \\
Y_{F} = 300 \nonumber
\end{align}
ここで政府支出により完全雇用を達成するには、政府支出がいくら必要か。

[5] 次のようなマクロ経済モデルを考える。
\begin{align}
Y = C+I+G+X-M \nonumber \\
C = 0.8(Y-T) \nonumber \\
G = T \nonumber \\
T = 0.2Y \nonumber \\
M = 0.1Y \nonumber
\end{align}
この経済において投資および輸出は外生的な要因によって定まり、また完全雇用所得水準が\(100\)であるとするならば、完全雇用と貿易収支の均衡を同時に達成する場合における国民所得に占める投資の割合を求めよ。

[6] 変動為替相場制の開放マクロ経済が、
\begin{align}
Y = D+G+B \nonumber \\
D = 180 + 0.6Y-2000i \nonumber \\
B = -90+2e-0.2Y \nonumber \\
M = 0.9Y-1000i
\end{align}
(\(Y\)：国民所得、\(D\)：国内需要、\(G\)：政府支出、\(B\)：純輸出、\(i\)：国内利子率、\(e\)：邦貨建て為替レート、\(M\)：貨幣供給量)
で示されるものとする。ただし、資本移動は完全であり、国内利子率\(i\)は外国の利子率\(i^{\ast}\)(\(i = \overline{i^{\ast}}\))に等しいとする。いま、景気浮揚策として政府が財政政策を行って、政府支出\(G\)を\(20\)増加させたとする。このとき、国民所得\(Y\)と為替レート\(e\)はどのように変化するか。

[7] 講義あるいはマクロ経済学について感想を自由に述べよ。

解答

[1] 書名：『The General Theory of Employment, Interest and Money』（『雇用・利子および貨幣の一般理論』）
著者名：John Maynard Keynes（ジョン・メイナード・ケインズ）

[2] \(r\)を\(G\)の関数で表し, \(I\)の式に代入すればよい. \(Y = C+I+G\)より,
\begin{align}
Y &= 10+0.8Y+60 -1000r +G \nonumber \\
0.2Y &= 70-1000r+G \nonumber \\
\therefore \quad Y &= 350 - 5000r + 5G \tag{1}
\end{align}
次に, \(\displaystyle \frac{M}{P} = L\)より,
\begin{align}
240 &= 50 + 0.5Y -1000r \nonumber \\
0.5Y &= 190 + 1000r \nonumber \\
\therefore \quad Y &= 380 + 2000r \tag{2}
\end{align}
式(1)と式(2)より,
\begin{align}
380+2000r &= 350-5000r+5G \nonumber \\
-7000 r &= 30-5G \nonumber \\
\therefore \quad -1000r &= \frac{1}{7}(30-5G) \tag{3}
\end{align}
式(3)を\(I\)の式に代入する.
\begin{align}
I &= 60 +\frac{1}{7}(30-5G) \nonumber \\
&= \frac{1}{7}(450-5G) \nonumber
\end{align}
よって求める\(I\)の減少額は,
\begin{align}
\left.I \right |_{G =20} -\left.I \right |_{G =34} &= \frac{1}{7}(450-5\cdot 20-450+5\cdot 34) \nonumber \\
&= \frac{5}{7}(-20+34) = 10 \nonumber
\end{align}

[3] (1)IS曲線とは投資と貯蓄の均衡を表したものであるから,
\begin{align}
I &= S \nonumber \\
40-5r &= -15+0.2Y \nonumber \\
\therefore \quad r &= -\frac{1}{25}Y + 11 \tag{1}
\end{align}
式(1)が求めるIS曲線である.
(2)LM曲線とは貨幣の需給均衡を表したものであるから,
\begin{align}
M &= L \nonumber \\
95 &= 85 +0.2Y-10r \nonumber \\
\therefore \quad r &= \frac{1}{50}Y -1 \tag{2}
\end{align}
式(2)が求めるLM曲線である.
(3)式(1), (2)より,
\begin{align}
-\frac{1}{25}Y + 11 &= \frac{1}{50}Y -1 \nonumber \\
\therefore \quad Y = 200 \nonumber
\end{align}
となり, \(200\)が均衡での所得である. この結果を式(2)に代入して
\begin{align}
r &= \frac{1}{50}\cdot 200 -1 \nonumber \\
\therefore \quad r &= 3 \nonumber
\end{align}
となる. \(3\)が均衡での利子率である.

[4] IS-LM分析を行い, \(Y\)を\(G\)の関数で表す. IS曲線は
\begin{align}
Y &= C+I+G \nonumber \\
&= 40+0.7(Y-T)+80-6r +G \nonumber \\
&= 40+0.7(Y-0.2Y)+80-6r +G \nonumber \\
&= 120+0.56Y-6r+G \nonumber \\
\therefore \quad \frac{11}{25}Y &= -6r +120 +G \tag{1}
\end{align}
となる. 次にLM曲線は
\begin{align}
\frac{M}{P} &= L \nonumber \\
200 &= 100+0.4Y-10r \nonumber \\
-10r &= -0.4Y+100 \nonumber \\
\therefore \quad -6r &= -\frac{6}{25}Y +60 \tag{2}
\end{align}
となる. 式(2)を式(1)に代入して,
\begin{align}
\frac{11}{25}Y &=-\frac{6}{25}Y +60+120+G \nonumber \\
\therefore \quad Y &= \frac{25}{17}(180+G) \nonumber
\end{align}
\(Y_{F} = 300\)より,
\begin{align}
300 &= \frac{25}{17}(180+G) \nonumber \\
12 &= \frac{1}{17}(180+G) \nonumber \\
204 &= 180+G \nonumber \\
\therefore \quad G &= 24 \nonumber
\end{align}
よって\(24\)が求める政府支出である.

[5] 貿易収支が均衡しているため, \(X = M\). よって\(X-M = 0\)である. この下で\(Y\)は
\begin{align}
Y &= C+I+G \nonumber \\
&= 0.8(Y-T)+I+T \nonumber \\
&= 0.8(Y-0.2Y) +I+0.2Y \nonumber \\
&= 0.84Y +I \nonumber \\
\therefore \quad I &=0.16Y \nonumber
\end{align}
完全雇用所得水準が\(100\)より, 完全雇用が達成されたときの投資は上式より\(I = 16\)である. よって, 求める投資の割合は\(100\cdot16/100 = 16\)パーセントである.

[6] 乗数を調べる. まず\(e\)を\(G\)の関数で表す. \(M=D\)より
\begin{align}
0.9Y-1000i &= 180+0.6Y-2000i \nonumber \\
\therefore \quad 0.3Y &= 180-1000i \tag{1}
\end{align}
次に,
\begin{align}
Y &= D+G+B \nonumber \\
&= 180+0.6Y-2000i+G-90+2e-0.2Y \nonumber \\
\therefore \quad 0.6Y &= 90-2000i+2e+G \tag{2}
\end{align}
式(1)と式(2)より
\begin{align}
2(180-1000i) &= 90-2000i+2e+G \nonumber \\
2e &= 270-G \nonumber \\
\therefore \quad e &= \frac{1}{2}(270-G) \nonumber
\end{align}
よって, \(G\)が\(20\)だけ増加したならば, \(e\)は\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (-20) = -10\)だけ変化する. すなわち\(10\)だけ減少する.
一方, 式(2)を変形して
\begin{align}
Y &= \frac{5}{3}(90-2000i+2e+G) \nonumber
\end{align}
が得られる. ここで\(G\)が\(20\)だけ増加したとき, \(e\)は\(10\)減少することを考えると, \(Y\)の変化は
\begin{align}
\frac{5}{3}(2(-10)+20)=0 \nonumber
\end{align}
となる. すなわち, \(Y\)は変化しない.

[7]は好きなことを書けばよろしい。

以上は霧ねこのオリジナルの解答です。指摘などありましたら何らかの手段で僕に連絡してください。

複素解析をざっとまとめるー21（第4章の章末問題）

目次

章末問題

(1)曲線\(C\)を含む領域において\(f(z)\)は連続であり, \(C\)上で\(|f(z)|\le M\)とします. 曲線\(C\)の長さを\(l\)とすれば, 次の不等式が成立することを証明してください.
\begin{align}
\left| \int_{C}f(z)dz \right| \le \int_{C} |f(z)||dz|\le Ml \nonumber
\end{align}

(2)次の関数の積分値を求めてください.ただし積分路は円\(C:|z| = 2\)上を正の方向に1周するものとします.
(a)\(\displaystyle \frac{4z^{2} - z + 3}{(z - 1)^{3} }\)
(b)\(\displaystyle \frac{1}{z^{2} (z-1)}\)

(3)\(C\)は\(z = 1,z=2\)を内部に含む単純閉曲線とします. このとき, 次の積分値を求めてください.
\begin{align}
\int_{C} \frac{\sin (\pi z^{2}) + \cos (\pi z^{2} )}{(z-1)(z-2)}dz \nonumber
\end{align}

第10回 関数解析ゼミ(2018年7月1日)

シグマの構成
(|u(x)| le N)をみたす全ての(uin L^{1}(mathbb{R}^{n}))と(orall arepsilon > 0)に対し,
egin{align}
exists,vin C_{0}(mathbb{R}^{n})quad { m s.t.}quad onumber \
|u-v|_{L^{1}} < arepsilon quad mbox{かつ}quad |v(x)|le N onumber
end{align}
が成立する. ただし簡単のため, (u)は実数値とする.

Def
(Omega):空でない集合, (mathscr{F}subset mathfrak{P}(Omega))とする. このとき, (mathscr{F})がシグマ-集合体であるとは, (mathscr{F})が以下の3条件を満たすことである.
(1)(emptysetin mathscr{F})
(2)(Ain mathscr{F}Rightarrow A^{c}in mathscr{F})
(3)({A_{i}}^{infty}_{i = 1}subset mathscr{F}Rightarrow igcup ^{infty}_{i = 1}A_{i}in mathscr{F})
ただしある集合(A)の補集合を(A^{c})と表現している.

Def
(-infty < a_{1} < b_{i} < infty quad (i = 1,2cdots ,n))とする. このとき,
egin{align}
R = [a_{1},b_{1}) imes cdots imes [a_{n},b_{n}) onumber
end{align}
を基本長方形といい, この(R)について
egin{align}
|R| := (b_{1}-a_{a})cdots (b_{n}-a_{n}) onumber
end{align}
と定める. ({Q_{i}}^{infty}_{i = 1}:orall iin mathbb{N}, Q_{1})は基本長方形という族をタイル列という.

Def
(Asubset mathbb{R}^{n})とする. 以下のように定義する.
egin{align}
m^{ast}(A) &:= left.inf left{sum^{}_{i}|Q_{i},| ight|, {Q_{i}}:mbox{タイル列}, Asubset igcup^{infty}_{i = 1}Q_{i} ight} onumber \
m_{ast}(A) & := sup {m_{ast}(K), |, Ksubset A,K:mbox{コンパクト}} onumber \
mathfrak{m}^{ast} &:= {Asubset mathbb{R}^{n},|, m^{ast}(A)<infty,m_{ast}(A)= m^{ast}(A) } onumber
end{align}

Def
(Nin mathbb{N})に対し,
egin{align}
overline{Q_{N}} := [-N.N] imes cdots imes [-N,N] onumber
end{align}
と定義する. (Asubset mathbb{R}^{n})がLebesgue可測であるとは, 次を満たすことである.
egin{align}
Acap overline{Q_{N}} in mathfrak{m}^{ast} onumber
end{align}
さらに, (mathfrak{m} = {Asubset mathbb{R}^{n}, | , A:mbox{Lebesgue可測}})とすると, Lebesgue測度mとは次のような写像である.
egin{align}
m:mathfrak{m} o [0,infty]:Amapsto mathfrak{m}^{ast} (A) onumber
end{align}
(mathbb{Q},mathbb{R}^{n})は通常のEuclidの距離で位相空間と見なす.

 FACT
*1:可測空間. (m):Lebesgue測度は次を満たす.
(1)(m(emptyset) = 0)
(2) ({A_{i}}_{i=1}subset mathfrak{m})かつ(A_{i}cap A_{j} = emptysetquad (orall i.orall j;i eq j))ならば, egin{align}
mleft( igcup ^{infty}_{i =1} A_{i} ight) = sum^{infty}_{i = 1} m(A_{i}) onumber
end{align}

*1:mathbb{R}^{n},mathfrak{m}

第9回 関数解析ゼミ(2018年6月27日)

2.5の証明の前に必要となるLecesgue積分の性質をいくつか. Lebesgue積分のゼミではないので, Lebesgue積分論について基本から段階的に解説していくことはしない. 数学的性質ないしは主張を列挙するに留める.

1. 零集合
(mu)をLebesgue測度とする. (Esubset mathbb{R}^{n})が, (mu (E) = 0)となるとき, (E)を零集合という.

2. ほとんど到るところ
ある命題が, 零集合を除いて成立するとき, その命題はほとんど到るところで成立するという. almost everywhereの頭文字をとり記号で, ( ({ m a.e.}))と表す. たとえば, (mathbb{R}^{n})上で定義された2つの関数(u(x),v(x))が, (mathbb{R}^{n})上の零集合(E)を除いて(u(x) = v(x))となる場合,
egin{align}
u(x) = v(x)quad ({ m a.e.}) onumber
end{align}
と表現する.

3. Lebesgueの収束定理
(mathscr{L})を(mathbb{R}^{n})上のLebesgue可積分全体の集合とする. (u_{k}in mathscr{L}, (k = 1,2,cdots))が次の(1), (2)を満たすとする.
(1)(displaystyle lim_{k o infty}u_{k}(x) = u(x)quad ({ m a.e.}))
(2)(k)に依存しない関数(fin mathscr{L})が存在して, (|u_{k}(x)|le f(x)quad ({ m a.e.}))
このとき, 次が成立.
egin{align}
lim_{k o infty}int^{}_{mathbb{R}^{n}} u_{k}(x)dx = int^{}_{mathbb{R}^{n}}lim_{k o infty} u_{k}(x)dx =int^{}_{mathbb{R}^{n}}u_{k}(x)dx onumber
end{align}

4. 単調収束定理
(0le u_{1}(x) le u_{2}(x) le cdots,u_{k}in mathscr{L})とし, (displaystyle int^{}_{mathbb{R}^{n}}u_{k}(x)dx le M)であると仮定する. このとき
egin{align}
u(x) := lim_{k o infty}u_{k}(x) < infty quad ({ m a.e.}) onumber
end{align}
であり, (uin mathscr{L}), かつ, Lebesgueの収束定理を満たす.

pf of Th 2.5

(orall {u_{k}}subset L^{1}(Omega))を(displaystyle A = sum^{infty}_{k=1} |u_{k+1} - u_{k}|_{L^{1}} < infty )なるものをとる. (displaystyle v_{N}(x) = |u_{1}(x)| + sum^{N-1}_{k = 1} |u_{k+1}(x) - u_{k}(x)|)とする. (displaystyle v(x) = lim_{N o infty}v_{N}(x) le infty)と定めると, ({v_{N}})は非負値関数の増加列で,
egin{align}
int^{}_{Omega} v_{N}(x)dx = |v_{N}|_{L^{1}} &le |v_{N}|_{L^{1}} + sum^{N-1}_{k = 1} |u_{k+1}(x) - u_{k}(x) |_{L^{1}} onumber \
&le |u_{1}|_{L^{1}} + A < infty onumber
end{align}
. 単調収束定理より, (v(x) < infty quad ({ m a.e.}))であり, (vin L^{1}(Omega)). (v(x) < infty)なる(xin Omega)について, (displaystyle sum^{infty}_{k = 1} |u_{k+1}(x) - u_{k}(x)| < infty).
egin{align}
u(x) = lim_{N o infty} u_{N}(x) = u_{1}(x) + sum^{infty}_{k = 1} (u_{k+1}(x) - u_{k}(x)) onumber
end{align}
が存在する. また, (|u_{N}(x)| le v (x)). (三角不等式)
(|u(x)| le v(x))より(u in L^{1} (Omega)). また, (u_{N}(x) - u(x) o 0quad ({ m a.e.}))で, (|u_{N}(x) - u(x)|le 2v(x))で(2vin L^{1}(Omega)). Lebesgueの収束定理より, (|u_{N} - u|_{L^{1}} o 0quad (N o infty)) (Q.E.D.)

2.4 (L^{p}(Omega))
(pin mathbb{R}、1le p < infty) とする。
egin{align}
mathscr{L}^{p}(Omega) = left{u:Omega o mathbb{C};(mbox{可測}), | , left( int^{}_{Omega} |u(x)|^{p} dx ight)^{1/p} ight} onumber
end{align}
(|u|_{L^{p}})とおく。

Th 2.8 Hölderの不等式
(1 < p < infty, displaystyle rac{1}{p} + rac{1}{q} = 1)について、(uin mathscr{L}^{p}(Omega), vin mathscr{L}^{1}(Omega))ならば、(uvin mathscr{L}^{1}(Omega))かつ
egin{align}
left| int^{}_{Omega}u(x)v(x) dx ight| &le left( int^{}_{Omega}|u(x)|^{p} dx ight)^{1/p} left( int^{}_{Omega} |v(x)|^{q} dx ight)^{1/q} onumber \
&= |u|_{L^{p}} |v|_{L^{q}} onumber
end{align}

pf

(a,b > 0)について, (ab le p^{-1} a^{p} + q^{-1} b^{q})である. まず(|u|_{L^{p}} = 0)または(|v|_{L^{q}} = 0)のとき成立するので, (|u|_{L^{p}} eq 0)かつ(|v|_{L^{q}} eq 0)とする.
egin{align}
rac{1}{|u|_{L^{p}}|v|_{L^{q}}}left| int^{}_{Omega}u(x)v(x) dx ight| le rac{1}{|u|_{L^{p}}|v|_{L^{q}}}int^{}_{Omega}|u(x)||v(x)| dx onumber \
= int^{}_{Omega}rac{|u(x)|}{|u|_{L^{p}}}cdot rac{|v(x)|}{|v|_{L^{q}}} dx le int^{}_{Omega} left{ rac{1}{p}rac{|u(x)|^{p}}{|u|^{p}_{L^{p}}} + rac{1}{q} rac{|v(x)|^{q}}{|v|^{q}_{L^{q}}} ight}dx onumber \
= rac{1}{p}rac{1}{|u|^{p}_{L^{p}}} int^{}_{Omega} |u(x)|^{p} dx + rac{1}{q} rac{1}{|v|^{q}_{L^{q}}} int^{}_{Omega}|v(x)|^{q} dx = 1 onumber
end{align}
(Q.E.D.)

Th 2.9 Minkowskiの不等式
(u,vin mathscr{L}^{p}(Omega), 1le p < infty)ならば, (u + v in mathscr{L}^{p}(Omega))かつ,
egin{align}
left( int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{p}dx ight)^{1/p} le left( int^{}_{Omega}|u(x) |^{p}dx ight)^{1/p} + left( int^{}_{Omega}|v(x) |^{p}dx ight)^{1/p} onumber
end{align}
が成立する.

pf
(p = 1)は明らかに成立. (1 < p < infty)のとき, (p^{-1} + q^{-1} = 1)なる(q)をとる.
egin{align}
|u(x) + v(x)|^{p} &le (|u(x)| + |v(x)|)^{p} onumber \
&le 2^{p} max {|u(x)|, |v(x)|}^{p} onumber \
&le 2^{p} {|u(x)|^{p} + |v(x)|^{p}} onumber
end{align}
より, (u + v in mathscr{L}^{p}(Omega)). また,
egin{align}
int^{}_{Omega} |u(x) + v(x)|^{p} dx = int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{p-1}|u(x) + v(x)| onumber \
le int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{p-1}|u(x)| dx +int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{p-1}|v(x)| dx onumber \
le left( int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{q(p-1)} dx ight)^{1/q} left(int^{}_{Omega}|u(x)|^{p} dx ight)^{1/p} onumber \
+ left( int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{q(p-1)} dx ight)^{1/q} left(int^{}_{Omega}|v(x)|^{p} dx ight)^{1/p} onumber \
= left(int^{}_{Omega}|u(x) + v(x)|^{p} dx ight)^{1-1/p}(|u|_{L^{p}} + |v|_{L^{p}}) onumber
end{align}
(Q.E.D.)

(mathscr{L}^{p}(Omega))上の同値関係(sim)を
egin{align}
usim vquad overset{mathrm{def}}{Leftrightarrow}quad u = vquad ({ m a.e.}) onumber
end{align}
で定め,
egin{align}
L^{p}(Omega) = mathscr{L}^{p}(Omega)/sim onumber
end{align}
とおく.
Th 2.9などから, *1はノルム空間になる.

Th 2.10
(L^{p}(Omega))はBanach空間である.

Th 2.11
(L^{2}(Omega))は, *2について, (|u_{k} - u|_{L^{p}} o 0quad (k o infty))ならば,
egin{align}
exists,{u_{k(l)}}subset {u_{k}}:mbox{部分列}quad { m s.t.}quad onumber \
lim_{l o infty}u_{k(l)}(x) = u(x) quad ({ m a.e.}) onumber
end{align}

Ex 2.14
(|Omega| < infty)であり, (p_{1} < p_{2})ならば,
egin{align}
L^{p_{2}}(Omega) < L^{p_{1}}(Omega) quad (mbox{かつ}) onumber \
|u|_{L^{p1}(Omega)} le |Omega|^{(p_{2}-p_{1})/p_{1}p_{2}} |u|_{L^{p2}(Omega)} onumber
end{align}

Th 2.15
(orall u in L^{1}(mathbb{R}^{n}), orall arepsilon > 0)について
egin{align}
exists,vin C_{0}(mathbb{R}^{n})quad { m s.t.}quad onumber \
int^{}_{mathbb{R}^{n}}|u(x) - v(x)|dx < arepsilon onumber
end{align}

Cor 2.16
(1le p < infty )ならば, (C_{0}(mathbb{R}^{n}))は(L^{p}(mathbb{R}^{n}))で稠密.

pf
(uin L^{p}(mathbb{R}^{n}), arepsilon > 0 )をとる. 各(N = 1,2,cdots)に対し,
egin{align}
Omega _{N} = left{xin mathbb{R}^{n}, | , |x| le N quad { m and}quad |u(x)|le N ight} onumber
end{align}
とする. (u_{N} = chi_{Omega N},u)とすると, (u_{N}(x) o u(x)quad ({ m a.e.}))であって, (|u(x)- u_{N}(x)|^{p}le |u(x)|^{p})より, Lebesgueの収束定理から, (|u - u_{N}|_{L^{p}} o 0)となる*3. Th 2.15より,
egin{align}
exists,v' in C_{0}(mathbb{R}^{n})quad { m s.t.}quad onumber \
|u_{N}- v'|_{L^{1}}le left( rac{arepsilon}{2} ight)^{p}(2N)^{1-p} onumber
end{align}
ここで,
egin{align}
v(x) =
egin{cases}
v'(x) &(|v'(x)| le N) \
Nv'(x)/|v'(x)| & (|v'(x)| ge N)
end{cases}
onumber
end{align}
とすれば, (|v(x)|le N,vin C_{0}(mathbb{R}^{n}))で, (|u_{N}-v|_{L^{1}}le |u_{N} - v'|_{L^{1}})
(Q.E.D.)

*1:L^{1}(Omega),||_{L^{p}}

*2:u,v) = int^{}_{Omega}u(x)overline{v(x)}dx)を内積としてHilbert空間である.

Th 2.13
({u_{k}}subset L^{p}(Omega), uin L^{p}(Omega

*3:chi_{Omega N})は集合(Omega _{N})の定義関数である). ゆえに, (exists,Nin mathbb{N}quad { m s.t.}quad |u - u_{N}|_{L^{p}} < arepsilon/2 )たる(N)がとれる. また, (|u_{N}(x)|le N)であって, ({xin mathbb{R}^{n} , | , u_{N}(x) eq 0}subset Omega _{N});(Omega _{N})は測度有限集合であるから, (u_{N}in L^{1}(mathbb{R}^{n}

第8回 関数解析ゼミ(2018年6月20日)

関数の台
とする.
\begin{align}
K_{u} = \{x\in \Omega\, | \, u(x)\neq 0\} \nonumber
\end{align}
のにおける閉包をの台(support)といい, と表す. でがのコンパクト集合であるもの全体をと表す.

2.3
をの可測集合とし, とする. 上の可積分関数全体の集合をと表す. は線形空間である.
上のノルムを
\begin{align}
\|u\| = \|u\|_{\mathscr{L}^{1}} = \int^{}_{\Omega}|u(x)|dx \quad (u\in \mathscr{L}^{1}(\Omega)) \nonumber
\end{align}
と定義する.
において, であるものとみなすことによりできる空間をと表す. はノルム空間になる. はならば, という上の同値関係での元を類別したときの同値類全体の集合である.

Th 2.5
はBanach空間である.

Lem 2.6
:ノルム空間とする. 次の(1),(2)は同値な命題.
(1)は完備
(2):任意のの点列についてならば, はで収束する

pf of Lem 2.6

:のCauchy列とし, その部分列をとる.
自然数をとなるようにとり, 次にをとなるように選ぶ. するととなりである. 部分列は, に収束する. ここで一般にCauchy列の部分列がに収束するなら自身もに収束する. よって, この場合もは内に収束する.
:Cauchy列とする. を満たす. 部分列がに収束するならをかつとなるようにとれる. するとに対して,
\begin{align}
\|v_{m}-u\| &\leq \|v_{m}-v_{l(k)}\| + \|v_{l(k)}-v\| \nonumber \\
&< \varepsilon/2 +\varepsilon/2 = \varepsilon \nonumber
\end{align}
となり, もに収束する. (Q.E.D.)

\begin{align}
\sum^{\infty}_{k = 1}\|u_{k+1}-u_{k}\| \lt \infty \nonumber
\end{align}
を満たす点列は明らかにCauchy列. 全てのCauchy列が収束列であることは完備性の定義そのもの. (Q.E.D.)

第6回 環論ゼミ（2018年6月2日）

　1.7節 素イデアル・極大イデアルの続き

Review

Prop 1.7.2
\(A\):環, \(\mathfrak{p}\):イデアルとする. このとき, 次の(1),(2)は同値な命題.
(1)\(\mathfrak{p}\)は素イデアル
(2)\(A/\mathfrak{p}\)は整域

Prop 1.7.3
\(A\):環, \(\mathfrak{m}\):イデアルとする. このとき, 次の(1),(2)は同値な命題.
(1)\(\mathfrak{m}\)は極大イデアル
(2)\(A/\mathfrak{m}\)は体

Review終

ここで体ならば整域なので, 次の系が導かれる.

Cor 1.7.4
環の任意の極大イデアルは素イデアルである.

Prop 1.7.5
\(\phi:A\to B\):環準同型, \(\mathfrak{q}\subset B\):素イデアル, \(\mathfrak{p} = \phi^{-1}(\mathfrak{q})\)とする. このとき, 次の(1),(2)が成立する.
(1)\(A/\mathfrak{p}\)は\(B/\mathfrak{q}\)の部分環
(2)\(\mathfrak{p} = \phi^{-1}(\mathfrak{q})\)は素イデアル

pf
(1)\(\pi:B\to B/\mathfrak{q}\)を自然な準同型とすると, \(\pi\circ \phi:A\to B/\mathfrak{q}\)の核は,
\begin{align}
\phi^{-1}(\ker (\pi)) = \phi^{-1}(\mathfrak{q}) = \mathfrak{p} \nonumber
\end{align}
環の準同型定理より, \(A/\mathfrak{p}\cong {\rm Im}(\pi \circ \phi)\subset B/\mathfrak{q}\)
(Q.E.D.)

(2)\(\mathfrak{q}\)が素イデアルより, \(B/\mathfrak{q}\)は整域. Prop 1.3.8: 整域の部分環っは整域, より, \(A/\mathfrak{p}\)も整域. よって\(\mathfrak{p}\)は素イデアル.
(Q.E.D.)

Prop 1.7.6
\(A\):環, \(\mathfrak{p}\subset A\):素イデアルとする. \(A\)上の\(n\)変数多項式\(A[x] = A[x_{1},\cdots,x_{n}]\)について, \(\mathfrak{p}A[x]\)は\(A[x]\)の素イデアルであり,
\begin{align}
A[x]/\mathfrak{p}A[x] \cong (A/\mathfrak{p})[x] \nonumber
\end{align}
が成立する.

pf
Prop 1.4.12より,
\begin{align}
A[x]/\mathfrak{p}A[x] \cong (A/\mathfrak{p})[x] \nonumber
\end{align}
である. \(A/\mathfrak{p}\)は明らかに整域であるから, Cor1.2.23より, \(A/\mathfrak{p}[x]\)も整域. よって\(A[x]/\mathfrak{p}A[x]\)も整域. よって\(\mathfrak{p}A[x]\)が素イデアル.
(Q.E.D.)

Prop 1.7.11
\(A\):環, \(\mathfrak{p}\subset A\):素イデアル, \(I_{1},\cdots,I_{n}\subset A\):イデアルとする. このとき,
\begin{align}
\bigcap^{n}_{k = 1} I_{k}\subset \mathfrak{p}\Rightarrow \exists\,m(1\le m\le n)\{I_{m}\subset \mathfrak{p}\} \nonumber
\end{align}
が成立する.

証明は簡単すぎるので略.

Prop 1.7.12
\(I\subset \mathfrak{p}\):\(A\)のイデアル. このとき, 次の(1),(2)は同値な命題.
(1)\(\mathfrak{p}\)は\(A\)の素イデアル
(2)\(\mathfrak{p}/I\)が\(A/I\)の素イデアル

pf
\( (A/I)(\mathfrak{p}/I)\cong A/\mathfrak{p}\)を考えれば分かる.

Th 1.7.13 代数学の基本定理
\(n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\)\(, a_{1},\cdots,a_{n}\in \mathbb{C}\), \(f(x) = x^{n} + a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n}\in \mathbb{C}[x]\)に対し, \(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}\in\mathbb{C}\)が存在し, \(f(x) = (x-\alpha_{1})\cdots(x-\alpha_{n})\)となる.

Prop 1.7.15
\(A\):環, \(I\subsetneq A\):イデアルとする. このとき\(I\)を含む\(A\)の極大イデアルが存在する. 特に\(a\in A\)が単元でないなら, \(a\)を含む極大イデアルが存在する.

pf
\(X\)を, \(I\)を含む\(A\)のイデアルで\(A\)自身でないもの全体の集合とする. \(X\)上の任意の2元に対し, 順序関係を\(J_{1}\subset J_{2}\Leftrightarrow J_{1}\le J_{2}\)と定義する. \(X\)がZornの補題の条件を満たすことを示す. すなわち, \(X\)の任意の元\(x\)に対して, 極大元\(\overline{x}\)が存在して, \(x\le \overline{x}\)となることを示す. 一応, Zornの補題を載せておく.

Def
順序集合は, 任意の全順序部分集合\(A\subset X\)が上に有界のとき帰納的順序集合という.
Th Zornの補題
\(X\)を帰納的順序集合とする. このとき任意の元\(x\in X\)に対し, \(X\)の極大元\(\overline{x}\)であって, \(x\le \overline{x}\)となるものが存在する.

\(Y\subset X\)を全順序部分集合とする. \(J_{0} = \bigcup_{J\in Y}J\)とおく. \(x,y\in J_{0}\)なら\(x\in J_{1},y\in J_{2}\)となる\(J_{1},J_{2}\in Y\)が存在するが, 仮定より, \(J_{1}\subset J_{2}\)または, \(J_{2}\subset J_{1}\)の一方が成立する. よって\(x,y\in J_{1}\)または\(x,y\in J_{2}\)である. ここで\(J_{1},J_{2}\)はイデアルなので, \(x\pm y\in (J_{1}\)または\(J_{2}\))となる. 同様の理由で, \(a\in A,x\in J_{0}\)なら, \(ax\in J_{0}\)となり, \(J_{0}\)が\(A\)のイデアルだと分かった. \(I\subset J_{0}\)は明らか, ここでもし\(J_{0}=A\)ならば\(1\)を含むイデアル\(J\in Y\)が存在して\(J=A\)となってしまい矛盾である. よって\(J_{0}\in X\). 任意の\(J\in Y\)に対して\(J\le J_{0}\)が成立する, すなわち, \(X\)の任意の全順序部分集合は\(X\)に上界をもつ. Zornの補題により\(X\)は極大元\(J\)をもつ. よって\(J\)は極大イデアルである.
もし, \(a\)が単元でないなら, \(I = (a) \neq A\)であるため, \((a)\)を含む極大イデアルが存在する. \(a\)がその極大イデアルに属することは明らかである.
(Q.E.D.)

複素解析をざっとまとめるー20（複素関数の積分その５）

目次

留数定理

　留数定理について話しましょう. 留数定理というのは, 「留数」という数を使って, 積分値が求められるよ！という定理です.
　私たちが求めたい積分は, 関数が定義されている領域内に, 特異点が存在する場合のものです. だってすべてで正則な領域だったらコーシーの積分定理から, すぐに積分値がだとわかってしまいますからね.
　ではまず「留数」について話しましょう. 「留数」を理解するには, 「ローラン展開」を理解しなければいけません. 「ローラン展開」とは「テイラー展開」の一般化です. いきましょう.

テイラー展開

　複素関数についても, 実関数のときと同様にテイラー展開が定義できます. ただし, その場合にはが領域の全体で正則である必要があります.
　この条件さえ満たせば, あとは実関数の場合のテイラー展開と同様です.

テイラー展開・マクローリン展開
　領域をを中心とする半径の円の周および内部とする. 複素関数がの点全体で正則であるとき, 内の任意の点
について, 関数は次のように級数展開できる.
\begin{align}
f(z) &= f(a) + \frac{f^{(1)}(a)}{1!}(z-a)^{1}+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(z-a)^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^{n}+\cdots \nonumber \\
&= \sum^{\infty}_{n = 0}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^{n} \nonumber
\end{align}
この級数展開を点まわりのテイラー展開という.
　また, 点まわりのテイラー展開を特別にマクローリン展開という.
\begin{align}
f(z) &= f(0)+\frac{f^{(1)}(0)}{1!}z^{1}+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}z^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^{n}+\cdots \nonumber \\
&= \sum^{\infty}_{n = 0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^{n} \nonumber
\end{align}

　テイラー展開が成立する証明は第5章にまわします. このように正則関数がベキ級数に展開できるという性質を正則関数の解析性とよびます.
　有名な関数のマクローリン展開を示しておきます.
\begin{align}
\frac{1}{1-z} &= 1 + z^{1} + z^{2} + \cdots + z^{n} + \cdots \quad ( |z |< 1) \tag{1} \\
e^{z} &= 1 + \frac{z^{1}}{1 !} + \frac{z^{2}}{2 !} + \cdots + \frac{z^{n}}{n!} + \cdots \tag{2} \\
\mathrm{Log}\, (1 + z) &= \frac{z^{1}}{1} - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} + \cdots + \frac{( -1 )^{n-1}}{n} z^{n} + \cdots \tag{3} \\
\cos z &= 1 - \frac{z^{2}}{2 !} + \frac{z^{4}}{4 !} - \cdots + \frac{(-1)^{m}}{(2m) !} z^{2m} + \cdots \tag{4} \\
\sin z &= z^{1} - \frac{z^{3}}{3 !} + \frac{z^{5}} {5 !} - \cdots + \frac{(-1)^{ m - 1 } } {(2m-1) ! } z^{2m-1} + \cdots \tag{5}
\end{align}
(1)は幾何級数と呼ばれる級数展開です.

ローラン展開

　テイラー展開は正則な点の周りで関数を展開するものでした. これに対し, ローラン展開は特異点の周りでも関数を展開できるようになったものです.

ローラン展開
　領域をの間の円環領域とする. すなわち,
\begin{align}
D:r_{1} \le |z-a| \le r_{2} \nonumber
\end{align}
である. 関数は領域上で正則な1価関数とする. は点で正則であってもなくても構わない.
　領域内にある, 点を囲む任意の単純閉曲線をとすると, 領域内の点について, は次式のような級数に展開できる.
\begin{align}
f(z) = &\cdots + \frac{a_{n}}{(z-a)^{n}} + \cdots + \frac{a_{2}}{(z-a)^{2}}+ \frac{a_{1}}{(z-a)^{1}} \nonumber \\
& + b_{1}(z-a)^{0} + b_{2}(z-a)^{1}+\cdots +b_{n}(z-a)^{n}+\cdots \nonumber \\
= &\sum^{\infty}_{k = 1}a_{k}\frac{1}{(z-a)^{k}} + \sum^{\infty}_{k = 0}b_{k}(z-a)^{k} \tag{1}
\end{align}
ただし, はそれぞれ
\begin{align}
a_{k} &= \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}f(z)(z -a)^{ k - 1 }dz \nonumber \\
b_{k} &= \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z -a)^{ k + 1 } }dz \nonumber
\end{align}
で定義される. 積分路は単純閉曲線に正の向きをつけたものとする.
　この場合, 式の右辺の級数をローラン級数, そして関数をローラン級数に展開することを点まわりのローラン展開という.
1つの数式で表すと
\begin{align}
f(z) &= \sum^{\infty}_{n = -\infty}c_{n}(z-a)^{n} \nonumber \\
c_{n} &= \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}}dz \nonumber
\end{align}
となる.

　これが, ローラン展開です. テイラー展開の場合にはの正のベキを考えましたが, ローラン展開では負のベキまで考えます. 係数がの部分, すなわち正のベキの部分はテイラー展開と同じですね. 一方, 係数がの部分, すなわち負のベキの部分をローラン展開の主要部と呼びます.
　関数が点で正則な場合, の負のベキの係数は, コーシーの積分定理より
\begin{align}
a_{k} &= \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}f(z)(z -a)^{ k - 1 }dz = 0 \nonumber
\end{align}
となります. よって主要部が全部消えてなくなるので, ローラン展開はテイラー展開と一致します.テイラー展開の一般化と言ったのはこういうことです.
　では実際にローラン展開をしてみましょう. わざわざ積分をしなくても, 有名な級数展開を利用してローラン展開できることが多いです.

例題7(ローラン展開)
　次の関数を点まわりでローラン展開しましょう.
(1)
(2)
例題解答7
(1)
\begin{align}
e^{z} &= 1 + \frac{z^{1}}{1!} + \frac{z^{2}}{2!}+\cdots + \frac{z^{n}}{n!}+\cdots \nonumber
\end{align}
より, をまわりでローラン展開すると,
\begin{align}
f(z) &= \frac{1}{z^{3}}\left(1 + iz + \frac{(iz)^{2}}{2!}+\frac{(iz)^{3}}{3!}+\frac{(iz)^{4}}{4!}+\frac{(iz)^{5}}{5!}+\cdots \right) \nonumber \\
&= \frac{1}{z^{3}} + \frac{i}{z^{2}} - \frac{1}{2!}\cdot\frac{1}{z} - \frac{i}{3!}+\frac{z}{4!} + i\frac{z^{2}}{5!} + \cdots \nonumber
\end{align}
となります.
(2)はとを特異点に持つので, との2通りに場合分けしましょう.
の場合
なので, 幾何級数を利用して
\begin{align}
f(z) &= \frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-(-z)} \nonumber \\
&=\frac{1}{z}\{1 + (-z) + (-z)^{2} + (-z)^{3}+ \cdots\} \nonumber \\
&= \frac{1}{z}-1+z -z^{2} + \cdots \nonumber
\end{align}
とローラン展開できます.
の場合
なので, 幾何級数を利用して
\begin{align}
f(z) &= \frac{1}{z}\cdot \frac{1}{z\left(1+ \frac{1}{z} \right)} \nonumber \\
&= \frac{1}{z^{2}}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{1}{z} \right)} \nonumber \\
&= \frac{1}{z^{2}}\left\{1 +\left(-\frac{1}{z} \right) + \left(-\frac{1}{z} \right)^{2}+\left(-\frac{1}{z} \right)^{3}+\cdots\right\} \nonumber \\
&= \frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{z^{4}}-\frac{1}{z^{5}}+\cdots \nonumber
\end{align}
とローラン展開できます.

　以前, 「特異点は3種類に分類できる」という話をしたのを覚えていますか？
　関数をローラン展開したときの主要部で特異点を分類できるのです.

特異点の分類
関数を特異点まわりでローラン展開したとき,
(1)主要部が存在しない場合, 特異点はの除去可能特異点という.
(2)主要部は存在するが, までの有限の級数である場合, すなわち
\begin{align}
f(z) = \frac{a_{-k} }{z^{ k } } &+ \frac{a_{-( k - 1 ) } }{z^{ k - 1 } } +\cdots \frac{a_{-1} }{z}\nonumber \\
& +a_{0} + a_{1}z^{1} + \cdots \nonumber
\end{align}
とローラン展開できるとき, はの位の極という.
(3)主要部が存在して, 無限級数の場合, はの真性特異点という.

　(1)の除去可能特異点とは, その名の通り除去可能な特異点です.
どういうことかというと, の値を適当に定義することで, 点でもが正則であるようにできるということです. 実際, (1)の場合のローラン展開は
\begin{align}
f(z) &= \sum^{\infty}_{n = 0}a_{n}(z-c)^{n} \nonumber \\
a_{n} &= \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz \nonumber
\end{align}
なので,
\begin{align}
f(c) = \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{z-c}dz \nonumber
\end{align}
と定義することで, はを含む領域でも正則になります.

留数定理

　さて, 留数定理の話にいきましょう. 留数定理は, ローラン展開を利用して積分値が求められるというものです.
　単純閉曲線の内部に個の特異点があるとします. また, を, それぞれ点を中心として, 他の特異点を円周および内部に含めない程度の半径を持った小円としましょう. このとき, 単純閉曲線の正の向きに沿った複素線積分
\begin{align}
\oint^{}_{C}f(z)dz \nonumber
\end{align}
を考えます. ただし関数は特異点を除いて単純閉曲線の円周および内部で正則とします.
(ア)積分路の変形則より,
\begin{align}
\oint^{}_{C}f(z)dz = \sum^{N}_{j =1}\oint^{}_{C_{j}}f(z)dz \nonumber
\end{align}
です. 両辺にを掛けて,
\begin{align}
\frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}f(z)dz = \frac{1}{2\pi i}\sum^{N}_{j =1}\oint^{}_{C_{j}}f(z)dz \nonumber
\end{align}
となります.
(イ)点まわりののローラン展開を,
\begin{align}
f(z) = \sum^{\infty}_{n = -\infty}a_{n}^{(j)}(z-c_{j})^{n} \nonumber
\end{align}
とすると, 円に沿った積分は,
\begin{align}
\frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{c_{j}}\sum^{\infty}_{n=-\infty}a_{n}^{(j)}(z-c_{j})^{n}dz \nonumber \\
= \sum^{\infty}_{n=-\infty}a_{n}^{(j)}\oint^{}_{c_{j}}(z-c_{j})^{n}\frac{dz}{2\pi i} \nonumber
\end{align}
となります. 本来は, との順序を交換する際には関数の一様収束性を確かめなければなりません. しかし上式の被積分関数のようなベキ級数関数については, 第5章のところで収束性を論じますので, 今回は一様収束性の確認はパスします. あ, でも皆さんが普段積分する場合にはちゃんと確かめなければダメですよ！
(ウ)以前紹介した基本公式1を覚えていますか？

基本公式1
　を整数, を点を中心とする半径の円とする. このとき, 次が成立する.
\begin{align}
\int^{}_{C}(z-\alpha)^{m}dz =
\begin{cases}
0 &(m \neq -1)\\
2\pi i & (m = -1)
\end{cases}
\nonumber
\end{align}

　この基本公式1を踏まえて考えれば, 先ほどの積分
\begin{align}
\sum^{\infty}_{n=-\infty}a_{n}^{(j)}\oint^{}_{c_{j}}(z-c_{j})^{n}\frac{dz}{2\pi i} \nonumber
\end{align}
はに関する数式しか残らないのが分かりますか？すなわち, の項のみが残るということです. 特異点周りの積分すべてについてこれが言えるので求めたい積分値は
\begin{align}
\sum^{N}_{j=1}a_{-1}^{(j)} \nonumber
\end{align}
で求まります.
　さぁ, なんとの総和で積分値が求まることが分かってしまいました！そもそもとは, をローラン展開したときの主要部の係数のひとつでした. しかし, 上の結果から, ローラン展開の他の係数よりもは特別で重要な存在であることが分かっていただけたでしょうか. 係数には特別な名前が与えられています.

留数
が孤立特異点のまわりで
\begin{align}
f(z) = \sum^{\infty}_{n = -\infty}a_{n}(z-c)^{n} \nonumber
\end{align}
のようにローラン展開できるとき, 特にの係数を, 点におけるの留数(りゅうすう)といい, 記号
\begin{align}
a_{-1} = \underset{z=c}{\mathrm{Res}}\,f(z)dz \nonumber
\end{align}
と表す.

そして留数を用いて積分値が求められるというのが, 留数定理です.

留数定理
は単純閉曲線の内部に個の孤立特異点を持つ以外は, の周および内部全体で正則であるとする. このとき, それぞれの特異点におけるの留数を用いて
\begin{align}
\oint^{}_{C}f(z)\frac{1}{2\pi i} = \sum^{N}_{j=1}\underset{z=c_{j}}{\mathrm{Res}}\,f(z)dz \nonumber
\end{align}
が成立する. これを留数定理という.

「2人の生産者の一方が, 2つの財に対して比較優位を持てない」こと

目次

　普段数学書を読むことが多いのですが, 数学書というのは大抵, 定理や法則に証明がついています. しかし経済学の入門書を読むと, 法則に対して数学的な証明が書かれているということはほぼありません. 「なんで証明ないんじゃい」とイライラするので書いておきます.

証明

　証明
　生産者さんは単位時間あたりに財を量, 財を量だけ生産可能であり,
生産者さんは単位時間あたりに財を量, 財を量だけ生産可能であるとする.
　ただし, 財の生産量は正の実数かつ, とは同時には成立しないとする.
　財の単位量あたりの機会費用は下表の通り.

　いま, 仮にさんが財の両方に対して比較優位であるとすると,
\begin{align}
\begin{cases}
\dfrac{y_{a}}{x_{a}} < \dfrac{y_{b}}{x_{b}} &(1) \\
\dfrac{x_{a}}{y_{a}} < \dfrac{x_{b}}{y_{b}} &(2)
\end{cases}
\nonumber
\end{align}
の2式が同時に成立することになる. 式(1)の逆数をとると, これを式(2)に代入すると
\begin{align}
\frac{x_{b}}{y_{b}} > \frac{x_{a}}{y_{a}} > \frac{x_{b}}{y_{b}} \nonumber
\end{align}
となる. これはありえない. 故にさんは財に対して, 両方に同時に比較優位ではありえない. 同様の手順でさんに対してもこれが言える.
証明終

説明

　証明を書きましたが, 一応比較優位(およびその周辺の概念)についても解説をしておきたいと思います.

　複数の財を生産する複数の生産者がいる場合を考えましょう. それぞれの生産者がある期間内で出せる生産量にはバラつきがあるのが普通です. さて, 複数の生産者の中で, 誰が財をより低い費用で生産できるでしょうか. 経済学はこういうことを気にするわけです.

　この問いには2つの方向から回答ができます. 1つ目はある財を生産するのに, 各生産者が必要とする投入を比較する方法です. 投入というのは, 例えば原材料であるとか労働時間のような生産のために必要なもののことです. 当然, 同じものを同じ量だけ作るのに, より少ない投入量で済む生産者の方が生産性は高いです. 私たちは, この「ある財を生産するのに, より少ない投入量しか必要としない」生産者について, その財の生産に関して「絶対優位を持っている」と言っています.

　もう1つは機会費用の概念を利用した回答です. 機会費用という言葉は知っている人も多いでしょう. ある行動を選択したために, 選択するのを諦め放棄してしまったもののことです. 大学の授業でよく言われる例としては,

「君は高校を卒業し, 大学へ進学することを選び, 大学生として生活している. しかし, 進学せずに就職するという選択も可能だった. もし就職したら年収200万円を得ていたかもしれない. その200万円が君の大学1年間の機会費用だ. 」

というのがありますね. 機会費用まで考えて利潤を計算するのは, 経済学ではよくあることです. (細かいようですが, 経済学では「利益」と「利潤」は違う意味です. )

　この機会費用を利用して得られる概念が比較優位です. ある生産者, あるいは国などが比較優位を持つというのは, その財を生産することの機会費用を他の財で測った数値が, 他の生産者あるいは国よりも低い, ということです. 言葉だとよく分かりませんので, 例を出して考えましょう.

　今, 国と国があるとします. 国よりも国の方が, 科学技術力が上であり, 高い生産力を持っているとしましょう. この両国のじゃがいもとコンピュータの生産について考えていきます. 国は, じゃがいもの生産に集中した場合1年間で500tのじゃがいもを生産でき, コンピュータの生産に集中した場合1年間で30万台生産できるとします. 一方国はじゃがいもに集中すれば1000t, コンピュータに集中すれば100万台を同じく1年間で生産できるとします. 状況を表にまとめると次のようになります.

　ただし状況を簡単にするために, 両国がじゃがいもとコンピュータを生産するのに必要な投入の量は同じだとします. すなわち, じゃがいも1個, またはコンピュータ1台をどちらの国が生産しても同じだけの時間や原材料や労働力が必要になるということです. いまは, 生産に必要な時間を基準に考えていきます.

　さて, じゃがいも1tを生産することの機会費用はどれくらいでしょうか. これはすなわち, じゃがいも1tを生産するのに使った時間で, コンピュータはどれだけ生産できるか, ということです. 国は, 1年間でじゃがいもが500t, コンピュータが30万台生産できるわけですから, 両方の生産量をで割ります. するとコンピュータは万台となります. これが国がじゃがいも1tを生産することの機会費用です. 一方, 国は, 1年間でじゃがいもが1000t, コンピュータが100万台生産できるわけですから, 両方の生産量をで割ります. すると, コンピュータは万台となります. これが国がじゃがいも1tを生産することの機会費用です. 同様の手法で, コンピュータ1万台を生産することの機会費用を求め, 表にまとめたものが次です.

　この結果から, 次のようなことが言えます. 国はじゃがいもを1t生産するために, コンピュータの生産を万台放棄する. 一方, 国はじゃがいも1tを生産するために, コンピュータの生産を万台放棄する. とでは, の方が少ないですね. すなわち, じゃがいも1tを生産するときに手放すコンピュータの生産は国のほうが少ないということです. この場合, じゃがいもの生産に関して国は比較優位を持つ, といいます.

　同様にしてコンピュータの生産に関する比較優位を考えましょう. 国はコンピュータ１万台を生産するために, じゃがいもの生産をt放棄する. 一方, 国はコンピュータ1万台を生産するために, じゃがいもの生産をt放棄する. とだったら, の方が少ないですね. よってコンピュータの生産に関して国は比較優位を持っていると言えます. 比較優位の概念が分かっていただけましたか？

　もし国と国がじゃがいもとコンピュータを貿易するなら, それぞれの国が比較優位をもつ財の生産に特化して貿易したほうが, 全体的な生産量が増えることが分かります. 経済全体のパイを広げる、なんて言い方をよくしますね. しかし, この比較優位というのは, 19世紀初頭にデヴィッド・リカードにより導入された, 貿易理論の初歩の初歩に当たる概念で, これだけで貿易を分析するというのは無理です. 詳しくは国際経済学の本を (貿易編と金融編に分かれている場合は, 貿易編を)読んでください. 僕もいま頑張ってクルーグマンの『国際経済学　理論と政策』を読んでいるところです. がんばりましょう.

複素解析をざっとまとめるー19（複素関数の積分その４）

目次

コーシーの積分公式

　コーシーの積分公式は, コーシーの積分定理を出発点として導かれる重要な定理たちの1つです.

コーシーの積分公式
　複素関数が, 単純閉曲線の周上および内部全体で正則であるとする. の内部の領域をとすると, 任意の点について次が成立する.
\begin{align}
f(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{z -a}dz \nonumber
\end{align}

　私は「積分定理」より, こっちの「積分公式」の方が好きです. この定理はとても不思議です. まず点というのは当然の内部の点です. 一方, 右辺の周回積分はに沿ったものですから, というのは上の点です. そしてその2つの点についての情報が等式で結ばれているのです. 内部の点に関する情報を知るには, 周りの円に沿って積分した値を求めればいい, これがこの定理から分かることです. 証明を示しましょう.
証明
　とすると, これは領域の中に特異点を持ちます. しかし, それ以外の点では正則なので, 点を中心とする半径の小円を考えると, 変形則2より,
\begin{align}
\oint^{}_{C}g(z)dz = \oint^{}_{C_{a}}g(z)dz \nonumber
\end{align}
となります. ここで, 上の点は, パラメータとオイラーの公式を用いて,
\begin{align}
\varphi(t) = a + re^{it}\quad (t:0\to 2\pi) \nonumber
\end{align}
と表せます. これを実際に代入すると,
\begin{align}
\int^{2\pi}_{0}g(\varphi(t))\frac{d\varphi(t)}{dt}dt &= \int^{2\pi}_{0}\frac{f(a + re^{it})}{a + re^{it}-a}\cdot ire^{it}dt \nonumber \\
&= i\int^{2\pi}_{0}f(a + re^{it})dt \nonumber
\end{align}
となります. ここで, の半径の値は任意であり, どんなに小さな値でもよいため, の極限を考えると, 上式は
\begin{align}
i\int^{2\pi}_{0}f(a + re^{it})dt &= i\int^{2\pi}_{0}f(a )dt \nonumber \\
&= if(a)\int^{2\pi}_{0}dt = 2\pi if(a) \nonumber
\end{align}
となります. よって,
\begin{align}
\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{z-a}dz &= 2\pi if(a) \nonumber \\
\therefore \quad f(a) &= \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{z -a}dz \nonumber
\end{align}
が成立します.
証明終
　次にコーシーの積分公式の一般形であるグルサの定理を説明します.

グルサの定理

　グルサの定理はコーシーの積分定理の一般形と言ってますが, つまりこういうことです.

グルサの定理
　複素関数が, 単純閉曲線の周上および内部全体で正則であるとする. の内部の領域をとすると, 任意の点について次が成立する.
\begin{align}
f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z -a)^{n+1}}dz \nonumber
\end{align}

　とは, の階導関数を表します. この定理すごくないですか？積分したら導関数が求まるんですよ？すごいよね. 証明もそう難しくありません.
証明
最初に積分公式の含まれる複素定数を複素変数に置き換えます.
\begin{align}
f(w) = \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{z-w}dz \nonumber
\end{align}
は上の点であり, はの内部の点なので, となることはありません. よって関数はの内部で正則な関数です. そのため, 積分公式の両辺を, 変数について微分することができます. すると,
\begin{align}
\frac{d}{dw}f(w) = \frac{1}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z-w)^{2}}dz \nonumber
\end{align}
となります. 先ほどと同様の理由で, 関数もの内部で正則な関数であり, 再びについて微分が可能です. もう1度で微分すると,
\begin{align}
f^{(2)}(w) = \frac{2}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z-w)^{3}}dz \nonumber
\end{align}
となります. 同じ作業を何度も繰り返すことで, 帰納的に一般形
\begin{align}
f^{(n)}(w) = \frac{n!}{2\pi i}\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz \nonumber
\end{align}
が得られます.
証明終
さてでは, これらの定理を利用して積分値を求めてみましょう.

例題6(積分公式)
を, 原点を中心とする半径の円に正の向きをつけたものとする. 次の積分を求めよう.
(1)
(2)
例題7(グルサの定理)
を, 原点を中心とする半径の円に正の向きをつけたものとする. 次の積分を求めよう.
(1)
(2)
例題解答6
(1)とおくと, これは複素平面全体で正則な関数なので, 当然およびその内部でも正則です. よってコーシーの積分公式より,
\begin{align}
\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{z}dz &= 2\pi i f(0) \nonumber \\
&= 2\pi i\cos 0 = 2\pi i \nonumber
\end{align}
(2)部分分数分解の発想から,
\begin{align}
\frac{e^{z}}{z^{2}-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{e^{z}}{z-1} + \frac{e^{z}}{z+1}\right) \nonumber
\end{align}
が分かります. まずは閉曲線の場合の変形則を用いて,
\begin{align}
\oint^{}_{C}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz = \oint^{}_{C_{1}}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz +\oint^{}_{C_{2}}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz \nonumber
\end{align}
とします. ただしはそれぞれ点を中心とする小円とします. コーシーの積分定理から,
\begin{align}
\oint^{}_{C_{1}}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz &= \oint^{}_{C_{1}} \frac{1}{2} \left( \frac{e^{z}}{z-1} + \frac{e^{z}}{z+1} \right) dz \nonumber \\
&= \frac{1}{2} \left( \oint^{}_{C_{1}} \frac{e^{z}}{z-1} dz + \oint^{}_{C_{1}}\frac{e^{z}}{z+1} dz \right) \nonumber \\
&=\frac{1}{2} \oint^{}_{C_{1}} \frac{e^{z}}{z-1}dz \tag{1}
\end{align}
同様にして,
\begin{align}
\oint^{}_{C_{2}}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz &= \oint^{}_{C_{2}}\frac{1}{2}\left(\frac{e^{z}}{z-1} + \frac{e^{z}}{z+1}\right)dz \nonumber \\
&= \frac{1}{2}\oint^{}_{C_{2}}\frac{e^{z}}{z+1}dz\tag{2}
\end{align}
となります. 式(1),(2)より
\begin{align}
\oint^{}_{C}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz =\frac{1}{2}\left( \oint^{}_{C_{1}}\frac{e^{z}}{z-1}dz+\oint^{}_{C_{2}}\frac{e^{z}}{z+1}dz\right) \nonumber
\end{align}
とおくと, これは複素平面全体で正則な関数なので, コーシーの積分公式より,
\begin{align}
\oint^{}_{C_{1}}\frac{f(z)}{z-1}dz &= 2\pi i f(1) \nonumber \\
&= 2\pi i e \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\oint^{}_{C_{2}}\frac{f(z)}{z+1}dz &= 2\pi i f(-1) \nonumber \\
&= 2\pi i e^{-1} \nonumber
\end{align}
となります. よって答えは
\begin{align}
\frac{1}{2}(2\pi i e + 2\pi i e^{-1}) = \pi i (e-e^{-1}) \nonumber
\end{align}
例題解答7
(1)とおくと, これは複素平面全体で正則な関数なので, 当然とその内部全体で正則です. よってグルサの定理より,
\begin{align}
\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{(z - 0)^{2}}dz &= \frac{2\pi i}{1!}f^{(1)}(0) \nonumber \\
&= 2\pi i\cos 0 = 2\pi i \nonumber
\end{align}
(2)\begin{align}
\frac{z^{3}}{(2z -1)} = \frac{z^{3}}{8\left(z - \frac{1}{2} \right)^{3}} \nonumber
\end{align}
より, とおくと, こちらも複素平面全体で正則な関数です. よってグルサの定理より,
\begin{align}
\oint^{}_{C}\frac{f(z)}{\left(z - \frac{1}{2} \right)^{3}}dz &= \frac{2\pi i}{2!}f^{(2)}\left( \frac{1}{2}\right) \nonumber \\
&= \pi i \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}\pi i \nonumber
\end{align}

次回は留数定理を話します.